Lời giải:
Đặt \(A=1+\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{18}{3^{18}}\)
\(\Rightarrow 3A=3+1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+...+\frac{18}{3^{17}}\)
\(\Rightarrow 3A-A=3+\frac{2-1}{3}+\frac{3-2}{3^2}+\frac{4-3}{3^3}+..+\frac{18-17}{3^{17}}-\frac{18}{3^{18}}\)
\(2A=3+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{17}}-\frac{18}{3^{18}}\)
\(\Rightarrow 6A=9+1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+..+\frac{1}{3^{16}}-\frac{18}{3^{17}}\)
\(\Rightarrow 6A-2A=7-\frac{18}{3^{17}}-\frac{1}{3^{17}}+\frac{18}{3^{18}}\)
\(\Leftrightarrow 4A=7+\frac{18}{3^{18}}-\frac{19}{3^{17}}=7-\frac{39}{3^{18}}\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{4}\left(7-\frac{39}{3^{18}}\right)\)
