Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

Tính đạo hàm của hàm số \(y=\dfrac{\cos x}{2\sin^2x}\) .

1. \(\dfrac{1+\sin^2x}{2\sin^3x}\).
2. \(\dfrac{1+\cos^2x}{2\sin^3x}\).
3. \(-\left(\dfrac{1+\sin^2x}{2\sin^3x}\right)\).
4. \(-\left(\dfrac{1+\cos^2x}{2\sin^3x}\right)\).

Tính \(y'\) biết \(y=\dfrac{\sin x-x\cos x}{\cos x+x\sin x}\) .

1. \(\dfrac{x^2}{\left(cosx+xsinx\right)^2}\).
2. \(\dfrac{-x^2.\cos2x}{\left(\cos x+x\sin x\right)^2}\).
3. \(\dfrac{2x^2.\sin^2x}{\left(\cos x+x\sin x\right)^2}\).
4. \(\dfrac{x^2.\sin2x}{\left(\cos x+x\sin x\right)^2}\).

Tính đạo hàm hàm số \(y=\sin\left(\cos^2x\right).\cos\left(\sin^2x\right)\).

1. \(-\cos\left(\cos2x\right).\sin2x\).
2. \(\cos\left(\cos2x\right).\sin2x\).
3. \(\cos\left(\sin2x\right).\cos2x\).
4. \(-\cos\left(\sin2x\right).\cos2x\).

Cho hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{\cos^2x}{1+\sin^2x}\)

Tính giá trị biểu thức \(f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-3f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\).

1. \(-3\).
2. \(\dfrac{8}{3}\).
3. \(3\).
4. \(-\dfrac{8}{3}\).

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=\sin\sqrt{x}+\cos\sqrt{x}\). Tính \(f'\left(\dfrac{\pi^2}{16}\right)\).

1. 0.
2. \(\sqrt{2}\).
3. \(\dfrac{2}{\pi}\).
4. \(\dfrac{2\sqrt{2}}{\pi}\).

Cho hàm số \(f\left(x\right)=\sin^35x.\cos^2\dfrac{x}{3}\). Tính  \(f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\).

1. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{6}\).
2. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{4}\).
3. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
4. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Cho hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{\cos x}{1-\sin x}\).  Tính  \(f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right)-f'\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\) .

1. \(\dfrac{4}{3}\).
2. \(\dfrac{4}{9}\).
3. \(\dfrac{8}{9}\).
4. \(\dfrac{2}{5}\).

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=\dfrac{\cos x}{1+2\sin x}\). Khẳng định nào trong các khẳng định sau là sai?

1. \(f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-\dfrac{1}{3}\).
2. \(f'\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-1\).
3. \(f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{5}{4}\).
4. \(f'\left(0\right)=-2\).

Tìm điều kiện của \(a,b\) để hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{b\cos x+a\sin x+1}{\cos x-\sin x+1}\) có \(f'\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=0\) .

1. \(a+b=0\).
2. \(a-b=0\).
3. \(2a+b=0\).
4. \(2b+a=0\).

Cho hàm số  \(f\left(x\right)=\sin^3x+\cos^3x\) . Tính \(f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\).

1. \(\dfrac{3\sqrt{3}-3}{8}\).
2. \(\dfrac{3\sqrt{3}-6}{8}\).
3. \(\dfrac{3\sqrt{3}-9}{8}\).
4. \(\dfrac{3\sqrt{3}-12}{8}\).

Tính đạo hàm của hàm số \(y=\tan^3x-3\tan x+3x\). 

1. \(4\tan^3x\).
2. \(3\tan^4x\).
3. \(3\cot^4x\).
4. \(4\cot^3x\).

Cho hàm số \(y=\varphi\left(t\right)=\sqrt{1+\cos^2t^2}\) . Tính \(\varphi'\left(\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\right)\).

1. \(-\dfrac{\sqrt{6\pi}}{3}\).
2. \(-\dfrac{\sqrt{6\pi}}{6}\).
3. \(-\dfrac{\sqrt{3\pi}}{2}\).
4. \(-\dfrac{\sqrt{3\pi}}{3}\).

Cho hàm số \(f\left(x\right)=-\dfrac{\cos x}{3\sin^3x}+\dfrac{4}{3}\cot x\). Tính  \(f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\) .

1. \(\dfrac{9}{8}\).
2. \(\dfrac{8}{9}\).
3. \(-\dfrac{9}{8}\).
4. \(-\dfrac{8}{9}\).

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=x\sin x\). Tính  \(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+f"\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+f'''\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\) .

1. \(2\).
2. \(-2\).
3. \(4\).
4. \(-4\).

Hàm số \(y=2\sin x+1\) là đạo hàm của hàm số nào sau đây ?

1. \(f\left(x\right)=2\cos x\).
2. \(f\left(x\right)=-2\cos x+x\).
3. \(f\left(x\right)=2\cos x+x\).
4. \(f\left(x\right)=2\sin x+x\).

Mệnh đề nào sau đây sai ?

1. \(\left(\sin x\right)'=\cos x\).
2. \(\left(\cos x\right)'=-\sin x\).
3. \(\left(\cot x\right)'=\dfrac{1}{\sin^2x}\).
4. \(\left(-\tan x\right)'=-\dfrac{1}{\cos^2x}\).

Mệnh đề nào sau đây sai ?

1. \(\left(\sin2x\right)'=2\cos2x\).
2. \(\left(\cos2x\right)'=-2\sin2x\).
3. \(\left(\cot2x\right)'=-\dfrac{2}{\sin^22x}\).
4. \(\left(\tan2x\right)'=\dfrac{2}{\cos^2x}\).

Tính giá trị của \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sin2x}{\tan3x}\).

1. 1.
2. 0.
3. \(\dfrac{2}{3}\).
4. \(\dfrac{3}{2}\).

Biểu thức nào sau đây là đạo hàm của hàm số \(y=\sin2x+\cos\dfrac{x^2+1}{2}-\tan\sqrt{x}\)?

1. \(\cos2x-\sin\dfrac{x^2+1}{2}-\dfrac{1}{\cos^2\sqrt{x}}\).
2. \(2\cos2x-x\sin\dfrac{x^2+1}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}\cos^2\sqrt{x}}\).
3. \(-2\cos x+x\sin\dfrac{x^2+1}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}\cos^2\sqrt{x}}\).
4. \(2\cos2x+x\sin\dfrac{x^2+1}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}\cos^2\sqrt{x}}\).

Cho hàm số \(y=\dfrac{\cos2x}{1-\sin x}\). Tính \(y'\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\).

1. \(1\).
2. \(-1\).
3. \(\sqrt{3}\).
4. \(-\sqrt{3}\).