5c. Tương giao hai đồ thị. Biện luận số nghiệm phương trình.

Câu hỏi trắc nghiệm

Chủ đề: 5c. Tương giao hai đồ thị. Biện luận số nghiệm phương trình.

Câu 14.

Tìm \(m\) để phương trình \(\dfrac{x+1}{|x-2|}=m\) có hai nghiệm phân biệt.

  1. \(m>1\)
  2. \(m< -1\)
  3. \(m\geq 1\)
  4. \(m\leq -1\)

Hướng dẫn giải:

Đặt \(f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-2}\) và \(g\left(x\right)=\frac{x+1}{\left|x-2\right|}\) thì ta có: \(g\left(x\right)=\begin{cases}f\left(x\right);x\ge2\\-f\left(x\right);x< 2\end{cases}\)

Phương trình đã cho trở thành: \(g\left(x\right)=m\)   

Trước hết ta vẽ đồ thị hàm f(x), g(x).

Ta có:

- Miền xác định của f(x) và g(x) là \(D=R\backslash\left\{2\right\}\)

- Đạo hàm cùa:  \(f'\left(x\right)=\frac{-3}{\left(x-2\right)^2}< 0\) => Hàm f nghịch biến trên D.

- Tiệm cận đứng của f(x):  x = 2

- Tiệm cận ngang: 

Ta có: \(f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-2}=\frac{x-2+3}{x-2}=1+\frac{3}{x-2}\) vậy tiệm cận ngang của f(x) là y = 1

- Bảng biến thiên

x f' f 2 > >

- Đồ thị hàm f(x) như sau:

   Đồ thị đi qua các điểm sau \(A\left(-1;0\right)\) ; \(B\left(0;-\frac{1}{2}\right)\)\(C\left(3;4\right)\)\(D\left(4;\frac{5}{2}\right)\)

Đồ thị hàm f(x) là đường nét đứt trong hình sau:

Sau khi có đồ thị f(x) ta suy ra đồ thị g(x) như sau:

Vì \(g\left(x\right)=\begin{cases}f\left(x\right);x\ge2\\-f\left(x\right);x< 2\end{cases}\) nên với \(x\ge2\) đồ thị g(x) trùng với f(x); với x < 2 thì g(x) là ảnh của f(x) qua phép đối xứng qua trục hoành.

Vậy đồ thị của g(x) là đường nét liền trong hình trên.

Để phương trình g(x) = m có hai nghiệm thì m > 1

Click để xem thêm, còn nhiều lắm!
Nội dung này yêu cầu tài khoản VIP, hôm nay bạn còn 5 lượt làm bài miễn phí cho môn Toán. Nâng cấp lên tài khoản VIP chỉ với 30.000 đ!

Tính năng này đang được xây dựng...