§3. Công thức lượng giác

Biểu thức \(B=\dfrac{\cos^2x-\sin^2y}{\sin^2x.\sin^2y}-\cot^2x.\cot^2y\) không phụ thuộc vào x, y và bằng :

1. 2.
2. -2.
3. 1.
4. -1.

Biểu thức \(A=\dfrac{\left(1-\tan^2x\right)^2}{4\tan^2x}-\dfrac{1}{4\sin^2x\cos^2x}\) không phụ thuộc vào x và bằng :

1. 1.
2. -1.
3. \(\dfrac{1}{4}\).
4. \(-\dfrac{1}{4}\).

Cho biết \(\sin\alpha+\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Trong 4 kết quả dưới đây, kết quả nào không đúng?

1. \(\sin\alpha.\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
2. \(\sin\alpha-\cos\alpha=\pm\dfrac{\sqrt{6}}{2}\).
3. \(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha=\dfrac{7}{8}\).
4. \(\tan^2\alpha+\cot^2\alpha=12\).

Biểu thức \(C=2\left(\sin^4x+\cos^4x+\sin^2x.\cos^2x\right)^2-\left(\sin^8x+\cos^8x\right)\) có giá trị không đổi và bằng 

1. 2
2. -2.
3. 1.
4. -1.

Hãy tìm hệ thức sai trong các hệ thức sau.

1. \(\dfrac{\tan x+\tan y}{\cot x+\cot y}=\tan x.\tan y\).
2. \(\left(\sqrt{\dfrac{1+\sin a}{1-\sin a}}-\sqrt{\dfrac{1-\sin a}{1+\sin a}}\right)^2=4\tan^2a\).
3. \(\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha+\sin\alpha}-\dfrac{\cos\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}=\dfrac{1-\cot^2\alpha}{1+\cot^2\alpha}\).
4. \(\dfrac{\sin x+\cos x}{1-\cos x}-1=\dfrac{2\cos x}{\sin x-\cos x+1}\).

Giá trị của biểu thức \(A=\sin\left(\alpha+45^o\right)+2\cos\left(\alpha-45^o\right)+\tan\left(2\alpha+90^o\right)-\cot\left[2\left(\alpha-15^o\right)\right]\) bằng :

1. \(3+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
2. \(3+\sqrt{3}\).
3. \(3-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
4. \(3-\sqrt{3}\) khi \(\alpha=45^o\).

Nếu \(\tan^2a.\tan^2b+\tan^2c.\tan^2a+2\tan^2a.\tan^2b.\tan^2c=1\) thì :

1. \(\tan^2a+\tan^2b+\tan^2c=1\).
2. \(\cot^2a+\cot^2b+\cot^2c=1\).
3. \(\sin^2a+\sin^2b+\sin^2c=1\).
4. \(\cos^2a+\cos^2b+\cos^2c=1\).

Nếu biết \(\dfrac{\sin^4\alpha}{a}+\dfrac{\cos^4\alpha}{b}=\dfrac{1}{a+b}\) thì biểu thức \(B=\dfrac{\sin^8\alpha}{a^3}+\dfrac{\cos^8\alpha}{b^3}\) bằng :

1. \(\dfrac{1}{\left(a+b\right)^2}\).
2. \(\dfrac{1}{a^2+b^2}\).
3. \(\dfrac{1}{\left(a+b\right)^3}\).
4. \(\dfrac{1}{a^3+b^3}\).

Nếu biết \(\tan x=\dfrac{2b}{a-c}\) thì giá trị biểu thức \(A=a\cos^2x+2b\sin x.\cos x+c\sin^2x\) bằng :

1. -a.
2. a.
3. -b.
4. b.

Nếu \(\sin x+\cos x=\dfrac{1}{2}\) thì \(3\sin x+2\cos x=?\)

1. \(\dfrac{7-\sqrt{5}}{4}\) hay \(\dfrac{7+\sqrt{5}}{4}\).
2. \(\dfrac{5-\sqrt{7}}{4}\) hay \(\dfrac{5+\sqrt{7}}{4}\).
3. \(\dfrac{2-\sqrt{3}}{5}\) hay \(\dfrac{2+\sqrt{3}}{5}\).
4. \(\dfrac{3-\sqrt{2}}{5}\) hay \(\dfrac{3+\sqrt{2}}{5}\).

Biểu thức \(A=\dfrac{1}{\sin^6x}-\cot^6x-\dfrac{3\cot^2x}{\sin^2x}\) không phụ thuộc vào x và bằng :

1. -1.
2. 1.
3. 2.
4. -2.

Cho biết \(\cot x=\dfrac{1}{2}\).

Giá trị của biểu thức \(C=\dfrac{2}{\sin^2x-\sin x.\cos x-\cos^2x}\) bằng 

1. 6.
2. 8.
3. 10.
4. 12.

Biết \(\cot15^0=2+\sqrt{3}\). Hãy xác định kết quả sai.

1. \(\tan15^0=2-\sqrt{3}\).
2. \(\sin15^0=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\).
3. \(\cos15^0=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\).
4. \(\tan^215^0+\cot^215^0=14\).

Nếu biết \(3\sin^4x+2\cos^4x=\dfrac{98}{81}\) thì biểu thức \(A=2\sin^4x+\cos^4x\) bằng :

1. \(\dfrac{101}{81}\) hay \(\dfrac{601}{405}\).
2. \(\dfrac{103}{81}\) hay \(\dfrac{603}{405}\).
3. \(\dfrac{105}{81}\) hay \(\dfrac{605}{405}\).
4. \(\dfrac{107}{81}\) hay \(\dfrac{607}{405}\).

Biểu thức \(B=\left(\sin^4x+\cos^4x-1\right)\left(\tan^2x+\cot^2x+2\right)\) có giá trị không đổi bằng :

1. 2.
2. 1.
3. -2.
4. -1.

Biểu thức \(C=\cos^2x.\cot^2x+3\cos^2x-\cot^2x+2\sin^2x\) không phụ thuộc vào x và bằng :

1. 2.
2. -2.
3. 3.
4. -3.

Nếu \(\tan x=-\dfrac{4}{3}\) và \(x\in\left(\dfrac{\pi}{2};\pi\right)\) thì biểu thức \(A=\dfrac{\sin^2x-\cos^2x}{\sin x-\cos^2x}\) có giá trị là

1. \(\dfrac{34}{11}\).
2. \(\dfrac{32}{11}\).
3. \(\dfrac{31}{11}\).
4. \(\dfrac{30}{11}\).

Nếu \(\sin\alpha+\cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) thì \(\tan^2\alpha-\cot^2\alpha\) bằng

1. 12.
2. 14.
3. 16.
4. 18.

Nếu \(\tan\alpha+\cot\alpha=5\) thì \(\tan^3\alpha+\cot^3\alpha\) bằng

1. 100.
2. 110.
3. 112.
4. 115.

Đẳng thức nào sau đây sai?

1. \(\sin^4\alpha-\cos^4\alpha=1-2\cos^2\alpha\).
2. \(\tan^2\alpha-\sin^2\alpha=\tan^2\alpha.\sin^2\alpha\).
3. \(\cot^2\alpha-\cos^2\alpha=\cot^2\alpha.\cos^2\alpha\).
4. \(\dfrac{\sin x+\cos x-1}{1-\cos x}=\dfrac{2\cos x}{\sin x+\cos x+1}\).

Nếu \(\tan\alpha,\tan\beta\) là các nghiệm số của phương trình \(x^2+px+q=0\) thì giá trị của biểu thức \(A=\sin^2\left(\alpha+\beta\right)+p\sin\left(\alpha+\beta\right).\cos\left(\alpha+\beta\right)+q.\cos^2\left(\alpha+\beta\right)\) bằng :

1. p.
2. \(\dfrac{p}{q}\).
3. q.
4. \(\dfrac{q}{p}\).

Cho \(A,B,C\) là 3 góc của một tam giác. Hệ thức nào sau đây không đúng?

1. \(\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}-\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}=\sin\dfrac{A}{2}\).
2. \(\tan A+\tan B+\tan C=\tan A.\tan B.\tan C\).
3. \(\cot A+\cot B+\cot C=\cot A.\cot B.\cot C\).
4. \(\tan\dfrac{A}{2}.\tan\dfrac{B}{2}+\tan\dfrac{B}{2}.\tan\dfrac{C}{2}+\tan\dfrac{C}{2}.\tan\dfrac{A}{2}=1\).

Kết quả nào sau đây là sai?

1. \(\cos15^o=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\).
2. \(\sin15^o=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\).
3. \(\tan75^o=2+\sqrt{3}\).
4. \(\cot15^o=2-\sqrt{3}\).

Cho biểu thức \(A=\sin^2\left(a+b\right)-\sin^2a-\sin^2b\).

Hãy chọn kết quả đúng.

1. \(A=2\cos a.\sin b.\sin\left(a+b\right)\).
2. \(A=2\sin a.\cos b.\cos\left(a+b\right)\).
3. \(A=2\cos a.\cos b.\cos\left(a+b\right)\).
4. \(A=2\sin a.\sin b.\cos\left(a+b\right)\).

Biết rằng \(\left\{\begin{matrix}0< a< \frac{\pi}{2}\\0< b< \frac{\pi}{2}\\a+b=\frac{\pi}{4}\\\tan a.\tan b=3-2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Số đo của các góc a, b là 

1. \(a=\dfrac{\pi}{3};b=\dfrac{\pi}{12}\).
2. \(a=\dfrac{\pi}{8};b=\dfrac{\pi}{8}\).
3. \(a=\dfrac{\pi}{9};b=\dfrac{5\pi}{36}\) hoặc ngược lại.
4. \(a=\dfrac{\pi}{5};b=\dfrac{\pi}{20}\) hoặc ngược lại.

Các góc a, b đều dương và nhọn, \(\cos a=\dfrac{1}{3};\cos b=\dfrac{1}{4}\). Giá trị của \(\cos\left(a+b\right)\cos\left(a-b\right)\) là

1. \(-\dfrac{113}{144}\).
2. \(-\dfrac{115}{144}\).
3. \(-\dfrac{117}{144}\).
4. \(-\dfrac{119}{144}\).

Tính giá trị của biểu thức \(M=\cos\left(-53^o\right).\sin\left(-337^o\right)+\sin\left(307^o\right).\sin\left(113^o\right)\).

1. \(M=-\dfrac{1}{2}\).
2. \(M=\dfrac{1}{2}\).
3. \(M=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
4. \(M=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Nếu A, B, C là các góc của một tam giác thì trong các hệ thức sau đây, hệ thức nào là đúng?

1. \(\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C=1+\cos A.\cos B.\cos C\).
2. \(\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C=1-\cos A.\cos B.\cos C\).
3. \(\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C=1+2\cos A.\cos B.\cos C\).
4. \(\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C=1-2\cos A.\cos B.\cos C\).

Cho biết \(\cos\left(a+b\right)=k\cos\left(a-b\right);\left(k\ne-1\right)\) thì \(\tan a.\tan b\) bằng 

1. \(\dfrac{k-1}{k+1}\).
2. \(\dfrac{1-k}{1+k}\).
3. \(\dfrac{k+1}{k-1}\).
4. \(\dfrac{1+k}{1-k}\).

Xác định hệ thức sai trong các hệ thức sau.

1. \(\cos40^o+\tan\alpha.\sin40^o=\dfrac{\cos\left(40^o-\alpha\right)}{\cos\alpha}\).
2. \(\sin15^o+\tan30^o.\cos15^o=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\).
3. \(\cos^2x-2\cos a.\cos x.\cos\left(a+x\right)+\cos^2\left(a+x\right)=\sin^2a\).
4. \(\sin^2x+2\sin\left(a-x\right).\sin x.\cos a+\sin^2\left(a-x\right)=\cos^2a\).