Các bài toán ứng dụng hình nón - trụ - cầu

Người ta xếp 7 hình trụ có cùng bán kính đáy r và cùng chiều cao h vảo một cái lọ hình trụ cũng có chiều cao h, sao cho tất cả các hình tròn đáy của hình trụ nhỏ đều tiếp xúc với đáy của hình trụ lớn, hình trụ nằm chính giữa tiếp xúc với sáu hình trụ xung quanh, mỗi hình trụ xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ lớn. Thể tích của lọ hình trụ lớn là:

1. \(16\pi r^2h\)
2. \(18\pi r^2h\)
3. \(9\pi r^2h\)
4. \(36\pi r^2h\)

Khi sản xuất vỏ lon sữa Ông Thọ hình trụ, các nhà sản xuất luôn đặt chỉ tiêu sao cho chi phí sản xuất vỏ lon là nhỏ nhất, thức là nguyên liệu được dùng là ít nhất. Hỏi khi đó tổng diện tích toàn phần của lon sữa là bao nhiêu, khi nhà sản xuất muốn thể tích của hộp là V cm³? 

1. \(S_{tp}=3\sqrt[3]{\dfrac{\pi V^2}{4}}\)
2. \(S_{tp}=6\sqrt[3]{\dfrac{\pi V^2}{4}}\)
3. \(S_{tp}=3\sqrt{\dfrac{\pi V^2}{4}}\)
4. \(S_{tp}=6\sqrt{\dfrac{\pi V^2}{4}}\)

Từ một tấm kim loại dẻo hình quạt như hình vẽ có kích thước bán kính R = 5 và chu vi của hình quạt là \(P=8\pi+10,\) người ta gò tấm kim loại thành những chiếc phễu theo hai cách:

+ Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một các phễu.

+ Chia đôi tấm kim loại thành hai phần bằng nhau rồi gò thành mặt xung quanh của hai cái phễu.

Gọi V₁ là thể tích của cái phễu thứ nhất, V₂ là tổng thể tích của hai cái phễu ở cách 2. Tính \(\dfrac{V_1}{V_2}?\)

1. \(\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{21}{\sqrt{7}}\)
2. \(\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{2\sqrt{21}}{7}\)
3. \(\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{2}{\sqrt{6}}\)
4. \(\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)

Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Tỉ số thể tích của khối cầu ngoài tiếp và khối cầu nội tiếp khối nón là:

1. 8
2. 6
3. 4
4. 2

Cho một hộp nhựa hình lập phương. Người ta bỏ vào hộp đó 1 quả bóng đá. Gọi V₁ ; V₂ lần lượt là thể tích của quả bóng và cái hộp.  Tính tỉ số \(\dfrac{V_1}{V_2}\) \(\)

1. \(\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{\pi}{2}\)
2. \(\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{\pi}{4}\)
3. \(\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{\pi}{8}\)
4. \(\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{\pi}{6}\)

Một cái phễu rỗng phần trên có kích thước như hình vẽ. 

Diện tích xung quanh của hai hình là:  ​

1. \(360\pi\left(cm^2\right)\)
2. \(424\pi\left(cm^2\right)\)
3. \(296\pi\left(cm^2\right)\)
4. \(960\pi\left(cm^2\right)\)

Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta đổ một lượng nước vào trong phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng \(\dfrac{1}{3}\) chiều cao của phễu. Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên thì chiều cao của nước bằng bao nhiêu? Biết chiều cao của phễu là 15 cm.

1. 0,188 (cm)
2. 0,216 (cm)
3. 0,3 (cm)
4. 0,5 (cm)

Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích là 27 cm³, với chiều cao h và bán kính đáy là r. Tìm r để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất.

1. \(r=\sqrt[4]{\dfrac{3^6}{2\pi^2}}\)
2. \(r=\sqrt[6]{\dfrac{3^8}{2\pi^2}}\)
3. \(r=\sqrt[4]{\dfrac{3^8}{2\pi^2}}\)
4. \(r=\sqrt[6]{\dfrac{3^6}{2\pi^2}}\)

Trong một chiếc hộp hình trụ người ta bỏ vào đó 2016 quả banh tennis, biết rằng đáy của hình trụ bằng hình tròn lớn trên quả banh và chiều cai hình trụ bằng 2016 lần đường kính của quả banh. Gọi V₁ là tổng thể tích của 2016 quả banh và V₂ là thể tích của khối trụ. Tính tỉ số \(\dfrac{V_1}{V_2}?\)

1. \(\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{1}{3}\)
2. \(\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{2}{3}\)
3. \(\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{1}{2}\)
4. Một kết quả khác.

Người ta cần chế tạo một ly nước dạng hình cầu tâm O, đường kính 2R. Trong hình cầu có một hình trụ tròn xoay nội tiếp trong hình cầu. Nước chỉ chứa được trong hình trụ. Hãy tìm bán kính đáy r của hình trụ để ly nước chứa được nhiều nước nhất.

1. \(r=\dfrac{R\sqrt{6}}{3}\)
2. \(r=\dfrac{2R}{3}\)
3. \(r=\dfrac{2R}{\sqrt{3}}\)
4. \(r=\dfrac{R}{\sqrt{3}}\)

Cho hình chữ nhật ABCD và nửa đường tròn đường kính AB như hình vẽ. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD. Biết AB = 4; AD = 6. Thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên quanh trục IJ là:

1. \(V=\dfrac{56\pi}{3}\)
2. \(V=\dfrac{104\pi}{3}\)
3. \(V=\dfrac{40\pi}{3}\)
4. \(V=\dfrac{88\pi}{3}\)

Người ta bỏ vào một chiếc hộp hình trụ ba quả bóng tennis hình cầu, biết rằng đáy hình trụ bằng hình tròn lớn trên quả bóng và chiều cao của hình trụ bằng ba lần đường kính quả bóng. Gọi S₁ là tổng diện tích của ba quả bóng, S₂ là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số diện tích \(\dfrac{S_1}{S_2}\) là:

1. 2
2. 5
3. 3
4. 1

Một cái mũ bằng vảo của nhà ảo thuật có kích thước như hình vẽ. Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ đó (không kể viền, mép, phần thừa).​​

​

1. \(700\pi\left(cm^2\right)\)
2. \(754,25\pi\left(cm^2\right)\)
3. \(750,25\pi\left(cm^2\right)\)
4. \(756,25\pi\left(cm^2\right)\)

Một chiếc chén hình trụ có chiều cao bằng đường kính quả bóng bàn. Người ta đặt quả bóng lên chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng \(\dfrac{3}{4}\) chiều cao của nó. Gọi V₁; V₂ lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc chén. Khi đó:

1. \(9V_1=8V_2\)
2. \(3V_1=2V_2\)
3. \(16V_1=9V_2\)
4. \(27V_1=8V_2\)

Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích của khối trụ bằng 2 và diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất thì bán kính đáy gần với số nào?

1. 0,68
2. 0,6
3. 0,12
4. 0,52

Một bình đựng nước dạng hình nón (không đáy) đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào đó một khối trụ và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là \(\dfrac{16\pi}{9}dm^3.\) Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt trên của hình nón, các điểm trên đường tròn đáy còn lại đều thuộc các đường sinh của hình nón (như hình vẽ) và khối trụ có chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón. Diện tích xung quanh S_xq của bình nước là:

1. \(S_{xq}=\dfrac{9\pi\sqrt{10}}{2}dm^2\)
2. \(S_{xq}=4\pi\sqrt{10}dm^2\)
3. \(S_{xq}=4\pi dm^2\)
4. \(S_{xq}=\dfrac{3\pi}{2}dm^2\)

Người ta cắt một miếng tôn hình tròn ra làm 3 miếng hình quạt bằng nhau, sau đó quấn và gò 3 miếng tôn để được 3 hình nón. Tính góc ở đỉnh của hình nón.

1. \(2\varphi=120^o\)
2. \(2\varphi=60^o\)
3. \(2\varphi=arc\sin\dfrac{1}{2}\)
4. \(2\varphi=arc\sin\dfrac{1}{3}\)

Một người thợ xây muốn xây dựng một bồn chứa nước hình trụ tròn với thể tích là 150 m³. Đáy làm bằng bê tông, thành làm bằng nặp tôn và bề làm bằng nhôm. Tính chi phí thấp nhất để bồn chứa nước. Biết giá thành các vật liệu như sau: bê tông 100 nghìn đồng một m², tôn 90 nghìn đồng một m² và nhôm 120 nghìn đồng một m².

1. 15037000 đồng
2. 15038000 đồng
3. 15039000 đồng
4. 15040000 đồng

Khi sản xuất một các phễu hình nón (không có nắp) bằng nhôm, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm phễu là ít nhất, tức là diện tích xung quanh của hình nón là nhỏ nhất. Giá trị gần đúng diện tích xung quanh của phễu khi ta muốn có thể tích phễu là 1dm³ (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

1. 4,18 dm²
2. 4,17 dm²
3. 4,19 dm²
4. 4.16 dm²

Một đại lý xăng dầu cần làm một cái bồn cầu chứa dầu hình trụ bằng tôn có thể tích \(16\pi m^3.\) Tìm bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra ít tốn nguyên vật liệu nhất.

1. 0,8 m
2. 1,2 m
3. 2 m
4. 2,4 m

Một hình nón có bán kính đáy bằng 6 cm và chiều cao bằng 9 cm. Tính thể tích lớn nhất của khối trụ nội tiếp trong hình nón.

1. \(36\pi\)
2. \(54\pi\)
3. \(48\pi\)
4. \(\dfrac{81}{2}\pi\)

Từ tấm tôn hình chữ nhật cạnh 90 cm x 180 cm người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 80 cm theo 2 cách:

Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.

Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành 3 tấm bằng nhau và gò các tấm đó thành mặt xung quanh của thùng.

Ký hiệu V₁ là thể tích của thùng gò được theo cách thứ nhất và V₂ là tổng thể tích của ba thùng gò được theo cách 2. Tính tỉ số \(\dfrac{V_1}{V_2}.\)​

1. \(\dfrac{1}{2}\)
2. \(\dfrac{1}{3}\)
3. 3
4. 2