Bài 6: Ôn tập chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Câu hỏi trắc nghiệm

Chủ đề: Bài 6: Ôn tập chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Câu 2.

Cho hàm số bậc ba \(y=ax^3+bx^2+cx+d\). Biết rằng \(A\left(0;3\right)\) và \(B\left(2;-1\right)\) là hai điểm cực trị của hàm số đã cho. Số điểm cực trị của hàm số \(y=\left|ax^2\left|x\right|+bx^2+c\left|x\right|+d\right|\) là

  1. \(5\).
  2. \(7\).
  3. \(9\).
  4. \(11\).

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết suy ra \(y'\) có hai nghiệm phân biệt là \(x=0\) và \(x=2.\) Từ đó \(y'=a\left(x^2-2x\right)\Rightarrow y=\int a\left(x^2-2x\right)\text{d}x=\frac{ax^3}{3}-ax^2+C.\) Lại vì \(A\left(0;3\right)\) và \(B\left(2;-1\right)\) phải thuộc đồ thị nên ta có hệ  \(\left\{{}\begin{matrix}3=C\\-1=\frac{a.2^3}{3}-a.2^2+C\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}C=3\\a=3\end{matrix}\right.\).

Từ đó \(y=x^3-3x^2+3.\) Cần tính số điểm cực trị của hàm số \(y=f\left(x\right)=\left|x^2\left|x\right|-3x^2+3\right|\). Để làm điều này chỉ cần lập bảng biến thiên của \(f\left(x\right).\)

Chú ý rằng \(f\left(-x\right)=f\left(x\right),\forall x\) nên \(f\left(x\right)\) là hàm chẵn và ta chỉ cần xét hàm số với \(x\ge0\) rồi lấy "đối xứng" qua trục tung. Với \(x\ge0\) thì \(\left|x\right|=x\Rightarrow y=f\left(x\right)=\left|x^3-3x^2+3\right|=\sqrt{\left(x^3-3x^2+3\right)^2.}\) Ta có \(y'=\frac{2\left(x^3-3x^2+3\right)\left(3x^2-6x\right)}{2\sqrt{\left(x^3-3x^2+3\right)^2}},\left(x\notin\left\{x_1;x_2;x_3\right\}\right)\), trong đó \(x_1=-0,879...,x_2=1,347...,x_3=2,532...\) là ba nghiệm của đa thức  \(x^3-3x^2+3.\) Từ đó ta có bảng dấu của \(f'\left(x\right)\) với \(x\ge0\) như sau:

                                                           

Lấy đối xứng qua điểm \(O\) ta được bảng dấu của \(f'\left(x\right)\) trên toàn trục số như sau:

                                                                      

Từ đó, số điểm cực trị của hàm số \(y=\left|ax^2\left|x\right|+bx^2+c\left|x\right|+d\right|\) là \(7.\)


Tính năng này đang được xây dựng...