Bài 5d: Bài tập ôn luyện

Câu hỏi trắc nghiệm

Chủ đề: Bài 5d: Bài tập ôn luyện

Câu 13.

Cho hai đường tròn (C1), (C2) có phương trình như sau:

   \(\left(C_1\right):\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=1\)

   \(\left(C_2\right):\left(x+1\right)^2+y^2=1\)

Tìm các bộ ba hằng số (a; b; c) để đồ thị hàm số \(y=\dfrac{ax+b}{x+c}\) đi qua các tâm của (C1), (C2), mỗi đường tiệm cận của đồ thị tiếp đều tiếp xúc với (C1), (C2)?

  1. \(\left(a;b;c\right)=\left(2;2;1\right)\).
  2. \(\left(a;b;c\right)=\left(3;3;2\right)\).
  3. \(\left(a;b;c\right)=\left(-2;-2;3\right)\).
  4. \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;0\right)\).

Hướng dẫn giải:

​Tâm và bán kính của (C1) là: \(I_1\left(1;2\right),r_1=1\).

​Tâm và bán kính của (C2) là: \(I_2\left(-1;0\right),r_2=1\).

Để đồ thị hàm số đi qua \(I_1,I_2\) thì:

   \(\left\{\begin{matrix}2=\dfrac{a.1+b}{1+c}\\0=\dfrac{a.\left(-1\right)+b}{-1+c}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}a+b=2\left(1+c\right)\\a=b\end{matrix}\right.\)    (*)

Viết lại hàm số như sau để tìm các đường tiệm cận:

  \(y=\dfrac{ax+b}{x+c}=\dfrac{a\left(x+c\right)+b-ac}{x+c}=a+\dfrac{b-ac}{x+c}\)

Đồ thị có tiệm cận ngang là \(y=a\) và tiệm cận đứng là \(x=c\).

Dễ nhận thấy trong các đường thẳng thẳng đứng chỉ có  \(x=0\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đã cho (xem hình dưới), suy ra \(c=0\).

 >^xy

Thay \(c=0\) vào (*) ta có:

  \(\left\{\begin{matrix}a+b=2\\a=b\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=1\)

Thử lại, với \(a=b=1,c=0\) đồ thị có 2 tiệm cận là \(y=1,x=0\) và cả hai tiệm cận đều tiếp xúc với hai đường tròn.

 

Câu 17.

Với những giá trị nào của \(a,b,c\) thì đồ thị hàm số \(y=ax^4+bx^2+c\)  nhận \(A\left(0;-3\right)\) là điểm cực đại và \(B\left(-1;-5\right)\) là điểm cực tiểu?

  1. \(a=2,b=-4,c=-3\).
  2. \(a=-3,b=-1,c=-5\).
  3. \(a=-2,b=4,c=-3\).
  4. \(a=2,b=4,c=-3\).

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Mẹo:

   Đồ thị đi qua \(A\left(0;-3\right)\) nên suy ra: \(-3=a.0^4+b.0^2+c\Rightarrow c=-3\).

   Đồ thị đi qua \(B\left(-1;-5\right)\) nên suy ra: \(-5=a.\left(-1\right)^4+b.\left(-1\right)^2+c\Rightarrow a+b+c=-5\).

Chỉ có đáp án \(a=2,b=-4,c=-3\) thỏa mãn 2 điều kiện trên.

Cách 2: Giải đầy đủ

Nếu \(a=0\) thì hàm số là bậc hai nên chỉ có \(1\) điểm cực đại hoặc \(1\) điểm cực tiểu, không thỏa mãn. 

Vậy \(a\ne0\), ta có:

  ​\(y'=4ax^3+2bx=2x\left(2ax^2+b\right)\)

Để \(y\) có cực đại và cực tiểu thì phương trình  \(2ax^2+b=0\) có hai nghiệm khác \(0\), suy ra \(2x^2=-\dfrac{b}{a}\) có nghiệm khác 0, hay \(a\) và \(b\) đều khác 0 và trái dấu nhau.

Khi đó \(y'\) có ba nghiệm phân biệt  \(x_1=-\sqrt{-\frac{b}{2a}};0;x_2=\sqrt{-\frac{b}{2a}}\)

và bảng biến thiên có một trong hai dạng:

   -  Nếu  \(a>0\) thì

      x x 0 x 1 2 y' y + + 0 0 0 > > > > CT CT

 - Nếu \(a< 0\)  thì

     x x 0 x 1 2 y' y + + 0 0 0 > > > CT >

Theo bài ra \(A\left(0;-3\right)\) là điểm cực đại nên hệ số \(a>0\) .

Suy ra hàm số nhận giá trị bằng \(-3\) khi \(x=0\Rightarrow\) \(a.0^3+b.0^2+c=-3\Rightarrow c=-3\).

\(B\left(-1;-5\right)\) là một điểm cực tiểu suy ra:

   \(\left\{\begin{matrix}-\sqrt{-\frac{b}{2a}}=-1\\a.\left(-1\right)^4+b.\left(-1\right)^2+c=-5\end{matrix}\right.\)

  \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}-\dfrac{b}{2a}=1\\a+b-3=-5\end{matrix}\right.\)  \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}a=2\\b=-4\end{matrix}\right.\)

Vậy ta có: \(a=2,b=-4,c=-3\)

Click để xem thêm, còn nhiều lắm!

Tính năng này đang được xây dựng...