Bài 5: Khoảng cách

Câu hỏi trắc nghiệm

Chủ đề: Bài 5: Khoảng cách

Câu 12.

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\)  có các cạnh đều bằng \(a\) và \(\widehat{BAD}=\widehat{BAA'}=\widehat{DAA'}=60^o\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BD,A'C'.\)

  1. \(\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)
  2. \(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)
  3. \(\dfrac{a\sqrt{6}}{6}\)
  4. \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Hướng dẫn giải:

​  

Từ giả thiết suy ra các tam giác \(BAD,BA'A,A'AD,BDA'\) là những tam giác đều cạnh \(a\).
Vì hai mặt đáy của hình hộp song song với nhau nên khoảng cách giữa hai đường thẳng (chéo nhau) \(BD,A'C'\) bằng khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp và cũng bằng khoảng cách từ điểm \(A\) tới mp\(\left(A'B'C'D'\right).\)

Chú ý rằng tam giác \(A'BD\) là tam giác đều nên \(A'O\perp BD,\) lại có \(AC\perp BD\Rightarrow BD\perp\left(A'ACC'\right)\) (1)

Trong mặt phẳng \(\left(A'ACC'\right)\), kẻ \(AH\perp A'C\). Do (1) suy ra \(BD\perp AH\) \(\Rightarrow B'D'\perp AH\) nên \(AH\perp\left(A'B'C'D'\right)\)

Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(AOA'\) (có \(AO=A'O=\frac{a\sqrt{3}}{2};\)\(A'A=a\)) ta có
\(\cos\widehat{OAA'}=\frac{a^2+\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2}{2a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)  \(\Rightarrow\)\(\sin\widehat{OAA'}=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2}=\frac{\sqrt{6}a}{3}\)\(\Rightarrow\sin\widehat{HA'A}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

Do đó  \(AH=a.\sin\widehat{HA'A}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)
.

 

Câu 17.

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, \(AB=a,BC=2a,SA\)vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\)\(SB\) bằng:

  1. \(\dfrac{2a}{3}\)
  2. \(\dfrac{a}{2}\)
  3. \(\dfrac{a}{3}\)
  4. \(\dfrac{\sqrt{6}a}{2}\)

Hướng dẫn giải:

​                      

Dựng hình bình hành \(ACBE\) thì \(A\)là trung điểm \(DE\) và \(BE||AC\) nên mp\(\left(SEB\right)\)song song với \(AC\) và chứa \(SB.\) do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(SB\) bằng khoảng cách từ \(A\) tới mp\(\left(SEB\right)\). Gọi khoảng cách này là \(h\) thì \(h\) cũng bằng chiều cao của hình chóp \(A.SEB\) hạ từ \(A\), do đó \(h=\frac{3V}{s}\) trong đó \(V\) là thể tích \(SABE\)\(s\) là diện tích \(ESB.\)

Chú ý rằng \(SABE\) có 3 cạnh \(AS,AE,AB\) đôi một vuông góc nhau và có \(AS=a,AB=a,AE=2a\)nên 

                  \(V=\frac{a.a.2a}{6}=\frac{a^3}{3},3V=a^3.\)

Mặt khác, từ các tam giác vuông \(SAE,EAB,SAB\) ta dễ dàng tính được \(EA=EB=a\sqrt{5},SB=a\sqrt{2}\). Gọi \(H\) là trung điểm \(SB\) thì \(EH\) cũng là đường cao tam giác cân \(ESB\) và \(HB=\frac{a\sqrt{2}}{2},EH=\frac{3a}{\sqrt{2}}\). Từ đó diện tích \(ESB\)  là \(s=\frac{3a}{\sqrt{2}}.\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{3a^2}{2}\), do đó khoảng cách cần tính bằng   \(h=\frac{3V}{s}=a^3:\frac{3a^2}{2}=\frac{2a}{3}\)

 


Tính năng này đang được xây dựng...