Bài 4: Ôn tập chương Khối đa diện

Câu hỏi trắc nghiệm

Chủ đề: Bài 4: Ôn tập chương Khối đa diện

Câu 6.

Câu 44 Mã đề 103 Thi THPTQG2017

Xét khối chóp 𝑆.𝐴𝐵𝐶 có đáy là tam giác vuông cân tại 𝐴, 𝑆𝐴 vuông góc với đáy, khoảng cách từ 𝐴 đến mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) bằng 3. Gọi 𝛼 là góc giữa hai mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) và (𝐴𝐵𝐶), tính cos𝛼 khi thể tích khối chóp 𝑆.𝐴𝐵𝐶 nhỏ nhất.

  1. \(\frac{1}{3}\)
  2. \(\frac{2}{3}\)
  3. \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
  4. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Hướng dẫn giải:

Gọi là trung điểm BC thì AM là trung tuyến, đường cao thuộc cạnh huyền của tam giác vuông cân ABC. Kẻ AH vuông góc với SM  thì AH vuông góc với mặt phẳng (SBC), do đó AH là khoảng cách từ A tới mp(SBC), theo giả thiết khoảng cách này bằng \(3\), vậy tam giác vuông SAM có đường cao thuộc cạnh huyền \(AH=3.\) Thấy ngay góc \(\widehat{SMA}\) chính là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC), theo giả thiết, góc này bằng \(\alpha\), vậy \(\widehat{SMA}=\alpha.\) Trong tam giác vuông SMA đã biết đường cao \(AH=3,\)góc \(\widehat{SMA}=\alpha,\) từ đó tính được các yếu tố còn lại: \(AM=\frac{AH}{\sin\alpha}=\frac{3}{\sin\alpha};SA=AM\tan\alpha=\frac{3}{\cos\alpha}.\)

Tam giác vuông cân \(ABC\) có trung tuyến thuộc cạnh huyền \(BC\) là \(AM=\frac{3}{\sin\alpha}\) suy ra \(BC=2AM=\frac{6}{\sin\alpha}.\) Từ đó khối chóp đã cho có thể tích 

          \(V=\frac{1}{6}AS.AB.AC=\frac{1}{6}.\frac{3}{\cos\alpha}.\left(\frac{6}{\sin\alpha}\right)^2=\frac{18}{\cos\alpha\sin^2\alpha}\Rightarrow V^2=\frac{18^2}{\cos^2\alpha.\sin^4\alpha}=\frac{2.18^2}{2\cos^2\alpha\sin^2\alpha\sin^2\alpha}\ge\frac{2.18^2}{\left(\frac{2\cos^2\alpha+\sin^2\alpha+\sin^2\alpha}{3}\right)^3}=3^7\)

        \(\Rightarrow V\ge27\sqrt{3}\). Thể tích nhỏ nhất khi \(2\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\Leftrightarrow3\cos^2\alpha=1\Leftrightarrow\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Câu 9.

Câu 44 Mã đề 108 Thi THPTQG2017

Xét khối tứ diện 𝐴𝐵𝐶𝐷 có cạnh 𝐴𝐵 = 𝑥 và các cạnh còn lại đều bằng \(2\sqrt{3}.\) Tìm 𝑥 để thể tích khối tứ diện 𝐴𝐵𝐶𝐷 đạt giá trị lớn nhất.  ​

  1. \(\sqrt{14}\)
  2. \(\sqrt{6}\)
  3. \(2\sqrt{3}\)
  4. \(3\sqrt{2}\)

Hướng dẫn giải:

Gọi là trung điểm CDE   là trung điểm AB. Từ giả thiết các cạnh còn lại (trừ cạnh AB) đều bằng  \(2\sqrt{3},\) suy ra \(MB=MA=2\sqrt{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\) (đường cao tam giác đều cạnh \(2\sqrt{3}\)) , tam giác MAB cân ở  nên trung tuyến ME cũng là đường cao tam giác MAB và \(DC\perp\left(MAB\right)\). Vì vậy thể tích tứ diện ABCD bằng \(V=\dfrac{1}{3}CD.S_{MAB}\)=\(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.S_{MAB}\) và thể tích \(V\)sẽ lớn nhất khi và chỉ khi \(S_{MAB}\) lớn nhất.

Tam giác MAB cân ở có \(MA=MB=3,AB=x\) , đường cao \(ME=\sqrt{3^2-\left(\dfrac{x}{2}\right)^2}=\sqrt{9-\dfrac{x^2}{4}}\). Do đó

\(S_{MAB}=\dfrac{1}{2}AB.ME=\dfrac{x}{2}\sqrt{9-\dfrac{x^2}{4}}\), do đó  \(S^2_{MAB}=\dfrac{x^2}{4}.\left(9-\dfrac{x^2}{4}\right)\le\left(\dfrac{\left(\dfrac{x^2}{4}+9-\dfrac{x^2}{4}\right)}{2}\right)^2=\left(\dfrac{9}{2}\right)^2\Rightarrow S_{MAB}\le\dfrac{9}{2}\).  Trong đó \(S_{MAB}\) lớn nhất khi và chỉ khi \(\dfrac{x^2}{4}=9-\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{9}{2}\Leftrightarrow x^2=18\Leftrightarrow x=3\sqrt{2}.\)

    

Câu 11.

Câu 38 Mã đề 112 Thi THPT Quốc gia 2018

Cho khối lăng trụ 𝐴𝐵𝐶.𝐴'𝐵'𝐶', khoảng cách từ 𝐶 đến đường thẳng 𝐵𝐵'  bằng  \(\sqrt{5}\),  khoảng cách  từ  𝐴  đến các đường thẳng 𝐵𝐵'  và  𝐶𝐶'  lần lượt bằng \(1\) và \(2\) , hình chiếu vuông góc của 𝐴 lên mặt phẳng ( 𝐴'𝐵'𝐶') là trung điểm 𝑀 của 𝐵'𝐶' và  𝐴'𝑀 \(=\sqrt{5}.\) Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng  

  1. \(\dfrac{2\sqrt{5}}{3}\)
  2. \(\dfrac{2\sqrt{15}}{3}\)
  3. \(\sqrt{5}\)
  4. \(\dfrac{\sqrt{15}}{3}\)

Hướng dẫn giải:

Thiết diện qua A' vuông góc với cạnh bên lăng trụ là tam giác \(A'B_1C_1\) (\(B_1,C_1\) lần lượt nằm trên các đường thẳng \(BB',CC'\)), như vậy theo giả thiết ta có  \(A'B_1=1,A'C_1=2,B_1C_1=\sqrt{5}\). Theo định lí Pitago đảo thì thiết diện này là một tam giác vuông và diện tích của nó bằng \(1.\)

Gọi \(M_1\)là trung điểm của \(B_1C_1\) thì \(MM_1\)song song với cạnh bên của lăng trụ; \(A'M_1=\dfrac{B_1C_1}{2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\) (\(A'M_1\) là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông \(A'B_1C_1\)).

Tứ giác \(A'M_1MA\) là hình thang vuông (vuông tại \(A'\) và \(M_1\)), \(AM\) vuông góc với \(A'M\) (vì theo giả thiết \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mp\(\left(A'B'C'\right)\) và \(A'M\subset\left(A'B'C'\right)\) ); \(A'M_1=\dfrac{\sqrt{5}}{2}=\dfrac{1}{2}A'M\) suy ra \(\widehat{MA'M_1}=60^0\), do đó \(\widehat{MA'A}=30^0\) và \(\widehat{A'AM}=60^0.\)  Từ đó \(AA'=\dfrac{A'M}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{15}}{3}.\) Thể tích của khối lăng trụ bằngdiện tích thiết diện vuông góc nhân với cạnh bên, do đó   \(V=1.\dfrac{2\sqrt{15}}{3}=\dfrac{2\sqrt{15}}{3}\)

Câu 13.

 Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là \(6\sqrt{3}cm^3.\)   . Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?  

  1.  Cạnh đáy bằng \(2\sqrt{6}\) cm và cạnh bên bằng \(1\)cm
  2.  Cạnh đáy bằng \(2\sqrt{3}\) cm và cạnh bên bằng \(2\)cm
  3.  Cạnh đáy bằng \(2\sqrt{2}\) cm và cạnh bên bằng \(3\) cm
  4.  Cạnh đáy bằng \(4\sqrt{3}\) cm và cạnh bên bằng \(0,5\) cm

Hướng dẫn giải:

 

Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là \(ABC.A'B'C'\) có các kích thước \(AB=a;AA'=h\) (đơn vị đo là cm). Như vậy lăng trụ có diện tích đáy là \(S_1=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\) và chiều cao \(h\) nên có thể tích bằng \(V=\dfrac{ha^2\sqrt{3}}{4}\). Theo giả thiết thể tích này bằng \(6\sqrt{3}\) cm,vì vậy \(6\sqrt{3}=\dfrac{ha^2\sqrt{3}}{4}\)\(\Rightarrow h=\dfrac{24}{a^2}.\) Muốn tốn ít vạt liệu nhất thì diện tích toàn phần khối lăng trụ phải nhỏ nhất. Lăng trụ có diện tích đáy \(S_1=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\) và diện tích một mặt bên là \(S_2=ah=\dfrac{24}{a}\).

Diện tích toàn phần là \(S=2S_1+3S_2=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}+\dfrac{72}{a}\)\(=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}+\dfrac{36}{a}+\dfrac{36}{a}\)\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}.\dfrac{36}{a}.\dfrac{36}{a}}=3\sqrt[3]{8.27.3\sqrt{3}}=3.2.3\sqrt{3}=18\sqrt{3}.\) Diện tích toàn phần nhỏ nhất khi và chỉ khi \(\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}=\dfrac{36}{a}=\dfrac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\) và  \(h=\dfrac{24}{a^2}=\dfrac{24}{\left(2\sqrt{3}\right)^2}=2.\)   Đáp số: Cạnh đáy bằng \(2\sqrt{3}\) cm và cạnh bên bằng \(2\)cm.


Tính năng này đang được xây dựng...