Bài 3b: Luyện kĩ năng: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi trắc nghiệm

Chủ đề: Bài 3b: Luyện kĩ năng: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu 1.

Hàm số \(f\left(x\right)\) thỏa mãn \(f'\left(x\right)=\sqrt[3]{4x+1}\) là

  1. \(\frac{4\left(4x+1\right)}{3}\sqrt[3]{4x+1}+C\).
  2. \(\frac{3\left(4x+1\right)}{4}\sqrt[3]{4x+1}+C\).
  3. \(\frac{3}{16}\sqrt[3]{\left(4x+1\right)^4}+C\).
  4. \(\frac{16}{3}\sqrt[3]{\left(4x+1\right)^4}+C\).

Hướng dẫn giải:

Cách 1 (biến đổi vi phân):  ​\(f\left(x\right)=\int\sqrt[3]{4x+1}\text{d}x=\int\left(4x+1\right)^{\frac{1}{3}}\text{d}x=\dfrac{1}{4}\int\left(4x+1\right)^{\frac{1}{3}}d\left(4x+1\right)\)

        \(=\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{\frac{1}{3}+1}\left(4x+1\right)^{\frac{1}{3}+1}+C\)

         \(=\dfrac{1}{4}.\dfrac{3}{4}\left(4x+1\right)^{\dfrac{4}{3}}+C=\dfrac{3}{16}\sqrt[3]{\left(4x+1\right)^4}+C\)

Cách 2 (tính đạo hàm): Nếu   \(f\left(x\right)=\dfrac{4\left(4x+1\right)}{3}\sqrt[3]{4x+1}+C=\dfrac{4}{3}\left(4x+1\right)^{\dfrac{4}{3}}+C\) suy ra \(f'\left(x\right)=\dfrac{4}{3}.\dfrac{4}{3}.\left(4x+1\right)^{\dfrac{1}{3}}.4=\dfrac{64}{9}\sqrt[3]{4x+1}\) nên \(f\left(x\right)=\dfrac{4\left(4x+1\right)}{3}\sqrt[3]{4x+1}+C\) không phải là đáp số đúng. Tương tự, kiểm tra các đáp số còn lại.

Cách 3 (sử dụng MTCT): Từ giả thiết \(f'\left(x\right)=\sqrt[3]{4x+1}\) ta có \(f'\left(0\right)=1\) hay \(\dfrac{\text{d}}{\text{dx}}\left(f\left(x\right)\right)|_{x=0}=1.\)

Nếu \(f\left(x\right)=\dfrac{4\left(4x+1\right)}{3}\sqrt[3]{4x+1}+C\) thì bấm máy tính \(\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\left(f\left(x\right)\right)|_{x=0}=\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\dfrac{4\left(4x+1\right)\sqrt[3]{4x+1}}{3}\right)|_{x=0}\) kết quả là khác \(1\) :    nên  \(f\left(x\right)=\dfrac{4\left(4x+1\right)}{3}\sqrt[3]{4x+1}+C\) là đáp số sai. Tương tự kiểm tra các đáp số còn lại.

Câu 4.

Cho biết \(\int f\left(x\right)\text{d}x=\sin2x+\cos2x-e^x+C\), hàm số $f(x)$ là

  1. \(\frac{1}{2}\cos2x-\frac{1}{2}\sin2x-e^x\).
  2. \(2\cos2x+2\sin2x-e^x\).
  3. \(2\cos2x-2\sin2x+e^x\).
  4. \(2\cos2x-2\sin2x-e^x\).

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Từ định nghĩa nguyên hàm suy ra  \(\left(\int f\left(x\right)\text{d}x\right)'=f\left(x\right)\) . Do đó sử dụng giả thiết \(\int f\left(x\right)\text{d}x=\sin2x+\cos2x-e^x+C\) ta có  \(f\left(x\right)=\left(\int f\left(x\right)\text{d}x\right)'=\left(\sin2x+\cos2x-e^x+C\right)'=2\cos2x-2\sin2x-e^x.\)

Cách 2 (dùng công thức Niutơn Lepnit và MTCT): 

                  Chú ý rằng nếu \(\int f\left(x\right)\text{d}x=F\left(x\right)+C\) (1)  thì \(\int\limits^b_af\left(x\right)\text{d}x=F\left(b\right)-F\left(a\right)\) (2)

Vì vậy để kiểm tra đẳng thức (1) ta có thể chọn hai số \(a,b\) sao cho \(f\left(x\right)\) xác định trên đoạn \(\left[a;b\right]\), tính hiệu hai vế của (2). Nếu kết quả khác \(0\) thì chắc chắn (1) sai.  Trong bài toán đang xét, \(F\left(x\right)=\sin2x+\cos2x-e^x\), ta tính vế phải của (2) rồi lưu kết quả vào ô nhớ M (lần lượt CALC với \(x=a,x=b\) rồi tính Ans - PreAns, lưu kết quả vào M). Tiếp theo tính vế trái của (2) (ứng với từng đáp số), trừ kết quả cho M,v.v...

  Tính vế phải của (2) và lưu kết quả vào M               Tính vế trái (2) - M

 

 

Ta thấy đáp số đúng là \(f\left(x\right)=2\cos2x-2\sin2x-e^x\).

Câu 8.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

  1. \(\int x^e\text{d}x=\frac{x^{e+1}}{e+1}+C\).
  2. \(\int\cos2x\text{d}x=\frac{1}{2}\sin2x+C\).
  3. \(\int e^x\text{d}x=\frac{e^{x+1}}{x+1}+C\).
  4. \(\int\frac{1}{x}\text{d}x=\ln\left|x\right|+C\).

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Cần nhớ các công thức nguyên hàm cơ bản (trang 97 SGK) để thấy khẳng định sai là  ​\(\int e^x\text{d}x=\frac{e^{x+1}}{x+1}+C\) .

Cách 2: Tính đạo hàm vế phải và xét xem đạo hàm tính được có bằng hàm số dưới dấu tích phân hay không. Các em cần thành thạo tính đạo hàm:   

                  \(\left(\dfrac{x^{e+1}}{e+1}\right)'=\dfrac{1}{e+1}\left(x^{e+1}\right)'=\dfrac{1}{e+1}.\left(e+1\right)x^e=x^e\Rightarrow\int x^e\text{dx}=\dfrac{x^{e+1}}{e+1}+C.\)

                  \(\left(\dfrac{1}{2}\sin2x\right)'=\dfrac{1}{2}\left(\sin2x\right)'=\dfrac{1}{2}.\left(2x\right)'.\left(\cos2x\right)=\cos2x.\)

                    \(\left(\dfrac{e^{x+1}}{x+1}\right)'=\dfrac{\left(e^{x+1}\right)'.\left(x+1\right)-e^{x+1}.\left(x+1\right)'}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{e^{x+1}.x+e^{x+1}-e^{x+1}}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{xe^{x+1}}{\left(x+1\right)^2}\ne e^x\), vậy khẳng định \(\int e^x\text{d}x=\frac{e^{x+1}}{x+1}+C\) là sai.

Cách 3 (dùng MTCT):  Để kiểm tra đẳng thức \(\int f\left(x\right)\text{d}x=F\left(x\right)+C\) bằng MTCT ta làm như sau:

Bước 1: Chọn \(a,b\) sao cho \(f\left(x\right)\) xác định trên đoạn \(\left[a;b\right]\)

Bước 2:Tính \(\int\limits^b_af\left(x\right)\text{d}x\) và lưu kết quả vào ô nhớ M. 

Bước 3:  Nhập biểu thức \(F\left(x\right)\).

Bước 4: CALC với \(x=a.\)

Bước 5: CALC với \(x=b.\)

Bước 6: Tính Ans - PreAns - M. Nếu kết quả khác \(0\) thì chắc chắn đẳng thức đang xét sai. Nếu kết quả bằng \(0\) thì nhiều khả năng đẳng thức đúng, nên thử lại với những \(a,b\)  chọn khác. Ta thấy khẳng định sai là \(\int e^x\text{d}x=\frac{e^{x+1}}{x+1}+C\).

\(\int x^e\text{d}x=\frac{x^{e+1}}{e+1}+C\) \(\int\cos2x\text{d}x=\frac{1}{2}\sin2x+C\) \(\int e^x\text{d}x=\frac{e^{x+1}}{x+1}+C\) \(\int\frac{1}{x}\text{d}x=\ln\left|x\right|+C\)

 

Câu 14.

Hàm số \(F\left(x\right)\) xác định trên khoảng \(\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\) thỏa mãn \(F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\pi}{2},F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\pi}{4},F\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\pi\) và tồn tại  \(a,b\)  sao cho \(F'\left(x\right)=\dfrac{a\sin^2x\cos^2x+b\sqrt{3}}{\sin^2x\cos^2x}\). Hàm số $F(x)$ là

  1. \(9x-2\pi\).
  2. \(x+\frac{\pi}{\sqrt{3}}\left(\tan x-\cot x\right)-\frac{\pi}{12}\).
  3. \(x+\frac{\pi}{\sqrt{3}}\left(\tan x-\cot x\right)\).
  4. \(x+\frac{\pi}{\sqrt{3}}\left(\tan x-\cot x\right)+\frac{\pi}{6}\).

Hướng dẫn giải:

\(F\left(x\right)=\int\dfrac{a\sin^2x\cos^2x+b\sqrt{3}}{\sin^2x\cos^2x}\text{dx}=\int\left(a+\dfrac{b\sqrt{3}}{\sin^2x\cos^2x}\right)\text{dx}\)

         \(=\int\left[a+\left(\dfrac{1}{\sin^2x}+\dfrac{1}{\cos^2x}\right)b\sqrt{3}\right]\text{dx}\)

         \(=ax+\left(-\cot x+\tan x\right)b\sqrt{3}+C\)

Để thỏa mãn các điều kiện: \(F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\pi}{2},F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\pi}{4},F\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\pi\) ta có:

\(\left\{\begin{matrix}a.\dfrac{\pi}{6}+\left(-\cot\dfrac{\pi}{6}+\tan\dfrac{\pi}{6}\right)b\sqrt{3}+C=\dfrac{\pi}{2}\\a\dfrac{\pi}{4}+\left(-\cot\dfrac{\pi}{4}+\tan\dfrac{\pi}{4}\right)b\sqrt{3}+C=\dfrac{\pi}{4}\\a\dfrac{\pi}{3}+\left(-\cot\dfrac{\pi}{3}+\tan\dfrac{\pi}{3}\right)b\sqrt{3}+C=\pi\end{matrix}\right.\)

Giải hệ theo a, b, C ta được: \(a=1,b=\dfrac{\pi}{3},C=0\).

Vậy \(F\left(x\right)=x+\dfrac{\pi}{\sqrt{3}}\left(\tan x-\cot x\right)\).

Click để xem thêm, còn nhiều lắm!

Tính năng này đang được xây dựng...