Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

Câu 1.

Gọi \(S\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=e^x,y=0,x=0,x=2.\) Khẳng định nào dưới đây đúng?

1. \(S=\pi\int_0^2e^{2x}\text{d}x\).
2. \(S=\int_0^2e^{2x}\text{d}x\).
3. \(S=\int_0^2e^x\text{d}x\).
4. \(S=\pi\int_0^2e^x\text{d}x\).

Câu 2.

1. \(S=b-a\).
2. \(S=b+a\).
3. \(S=-b+a\).
4. \(S=-b-a\).

Câu 3.

Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^2\) và \(y=x+2\) bằng

1. \(5\).
2. \(\frac{9}{2}\).
3. \(4\).
4. \(\frac{7}{2}\).

Câu 4.

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường  \(y=\left(x-6\right)^2\) và \(y=6x-x^2\) bằng

1. \(8\).
2. \(9\).
3. \(10\).
4. \(11\).

Câu 5.

Kí hiệu \(S\left(t\right)\) là diện tích của hình thang vuông T giới hạn bởi đường thẳng \(y=2x+1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=1,x=t\left(1\le t\le5\right)\). Khẳng định nào sau đây sai?

1. \(S\left(t\right)=\left(t+2\right)\left(t-1\right)\).
2. \(S\left(t\right)\) là một nguyên hàm của \(f\left(t\right)=2t+1,t\in\left[1;5\right]\).
3. Hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng \(y=2x+1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=1,x=5\) có diện tích là \(S=\int\limits^5_1\left(2x+1\right)\text{d}x\).
4. Hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng \(y=2x+1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=1,x=3\) có diện tích bằng \(30\).

Câu 6.

Kí hiệu \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left(x\right)\) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) như trong hình vẽ dưới.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

1. \(S=\int\limits^b_af\left(x\right)\text{d}x\).
2. \(S=-\int\limits^b_af\left(x\right)\text{d}x\).
3. \(S=\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x\).
4. \(S=\left|\int\limits^b_af\left(x\right)\text{d}x\right|\).

Câu 7.

Kí hiệu \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=x^3\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=-1,x=2\) như trong hình vẽ sau đây.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

1. \(S=\int\limits^2_{-1}x^3\text{d}x\).
2. \(S=-\int\limits^0_{-1}x^3\text{d}x+\int\limits^2_0x^3\text{d}x\).
3. \(S=\left|\int\limits^2_{-1}x^3\text{d}x\right|\).
4. \(S=\int\limits^0_{-1}x^3\text{d}x+\int\limits^2_0x^3\text{d}x\).

Câu 8.

Kí hiệu \(V\) là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x=z,x=b\) (như trong hình vẽ dưới) xung quanh trục \(Ox\). Khẳng định nào dưới đây đúng?

1. \(V=\int\limits^b_af\left(x\right)\text{d}x\).
2. \(V=\pi\int\limits^b_af\left(x\right)\text{d}x\).
3. \(V=\pi\left(\int\limits^b_af\left(x\right)\text{d}x\right)^2\).
4. \(V=\pi\int\limits^b_af^2\left(x\right)\text{d}x\).

Câu 9.

Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục \(y=f\left(x\right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) như hình vẽ dưới đây.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

1. \(S=\int\limits^b_af\left(x\right)\text{d}x\).
2. \(S=\int\limits^b_a-f\left(x\right)\text{d}x\).
3. \(S=\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x\).
4. \(S=\left|\int\limits^b_af\left(x\right)\text{d}x\right|\).

Câu 10.

Kí hiệu \(S_1;S_2\) lần lượt là diện tích hình vuông cạnh bằng 1 và diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^2+1;y=0;x=-1;x=2\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?

1. \(S_1=S_2\).
2. \(S_1>S_2\).
3. \(S_1=\frac{1}{2}S_2\).
4. \(\frac{S_2}{S_1}=6\).

Câu 11.

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) liên tục trên đoạn\(\left[a;b\right]\). Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y=f\left(x\right)\) trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,x=b\left(a< b\right).\) Công thức nào sau đây là công thức tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành?

1. \(V=\pi\int_a^bf^2\left(x\right)\text{d}x\).
2. \(V=2\pi\int_a^bf^2\left(x\right)\text{d}x\).
3. \(V=\pi^2\int_a^bf^2\left(x\right)\text{d}x\).
4. \(V=\pi^2\int_a^bf\left(x\right)\text{d}x\).

Câu 12.

Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y=\cos x;y=\sin x\) và hai đường thẳng \(x=0;x=\frac{\pi}{2}\) là

1. \(S=2\left(\sqrt{2}-1\right)\).
2. \(S=2\left(1-\sqrt{2}\right)\).
3. \(S=2\sqrt{2}\).
4. \(S=2\sqrt{2}-1\).

Câu 13.

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \(y=\sqrt{2+\cos x}\), trục hoành và các đường thẳng \(x=0,x=\dfrac{\pi}{2}\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích bằng 

1. \(\pi-1\).
2. \(\pi\left(\pi-1\right)\).
3. \(\pi\left(\pi+1\right)\).
4. \(\pi+1\).

Câu 14.

Công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong. giới hạn bởi đồ thi hàm số f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b), xung quanh trục Ox là

1. \(\pi\int\limits^b_af^2\left(x\right)\text{d}x\).
2. \(\int\limits^b_af^2\left(x\right)\text{d}x\).
3. \(\pi\int\limits^b_af\left(x\right)\text{d}x\).
4. \(\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x\).

Câu 15.

Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y=\frac{-\left(x-2\right)^2}{x-1}\).

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C) và ba đường \(x=2;x=e^4+1,y=-x+3\) là 

1. \(2\).
2. \(3\).
3. \(4\).
4. \(5\).

Câu 16.

Khi giải bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=2;y=e^x;x=1;x=\ln2\), bốn bạn An, Bảo, Cẩn và Dũng cho bốn công thức khác nhau sau đây. Hỏi bạn nào đúng?

1. An: \(S=\int\limits^1_{\ln2}\left(e^x-2\right)\text{d}x\).
2. Bảo: \(S=\int_1^{\ln2}\left(e^x-2\right)\text{d}x\).
3. Cẩn: \(S=\int_{\ln2}^1\left(2-e^x\right)\text{d}x\).
4. Dũng: \(S=\int_1^{\ln2}\left(2+e^x\right)\text{d}x\).

Câu 17.

Cho hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y=2\sqrt{1-x^2}\) và \(y=2\left(1-x\right)\).

1. \(\frac{4\pi}{3}\).
2. \(\pi\).
3. \(\frac{\pi}{2}\).
4. \(\frac{2\pi}{3}\).