Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Câu hỏi trắc nghiệm

Chủ đề: Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Câu 16.

Trong khoảng \((0,\pi)\) , phương trình  \(\sin x (\cos 2x - 2\cos x)=\cos2x . \cos x -1\)    có bao nhiêu nghiệm ?

 

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3

Hướng dẫn giải:

​Ta có:  \(\sin x (\cos 2x - 2\cos x)=\cos2x . \cos x -1\)\(\Leftrightarrow\cos2x\left(\sin x-\cos x\right)+1-2\sin x\cos x=0\)\(\Leftrightarrow\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\left(\sin x-\cos x\right)+\left(\sin x-\cos x\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sin x-\cos x\right)^2\left[1-\left(\cos x+\sin x\right)=0\right]\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sin x-\cos x=0\\\sin x+\cos x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=0\\\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)=0\\\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)=0\\\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix}\right.\)

Đặt \(t=x+\dfrac{\pi}{4}\) thì điều kiện \(x\in\left(0;\pi\right)\)  trở thành  \(t\in\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{5\pi}{4}\right)\), còn phương trình đã cho thì trở thành  \(\left[{}\begin{matrix}\cos t=0\\\sin t=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix}\right.\). Bài toán quy về việc tính số nghiệm của hai phương trình trên trong khoảng \(\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{5\pi}{4}\right)\).

Trong khoảng \(\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{5\pi}{4}\right)\) phương trình \(\cos t=0\) chỉ có một nghiệm \(t=\dfrac{\pi}{2}\), còn phương trình \(\sin t=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) thì không có nghiệm nào, Vậy đáp số đúng là 1.

 

 

Câu 24.

Giải phương trình                \(\sin^3x-\sqrt{3}\cos^3x=\sin x\cos^2x-\sqrt{3}\sin^2x\cos x\)

 

  1. \(x=\frac{\pi}{3}+k\pi;x=\frac{\pi}{4}+k\pi\) với \(k\in Z.\)
  2. \(x=-\frac{\pi}{3}+k\pi;x=\pm\frac{\pi}{4}+k\pi\) với \(k\in Z.\)
  3. \(x=\pm\frac{\pi}{4}+k\pi\) với \(k\in Z.\)
  4. \(x=\frac{\pi}{3}+k\pi;x=\frac{\pi}{4}+k\pi\) với \(k\in Z.\)

Đây là phương trình đẳng cấp đối với sin và cos. Xét 2 trường hợp sau:

- Xét \(\cos x=0\) , khi đó \(\sin x=\pm1\), thay vào phương trình ta thấy không thỏa mãn. 

- Xét \(\cos x\ne0\), khi đó chia cả hai vế cho \(\cos^3x\) ta được phương trình sau:

      \(\frac{\sin^3x}{\cos^3x}-\sqrt{3}=\frac{\sin x}{\cos x}-\sqrt{3}\frac{\sin^2x}{\cos^2x}\)

  \(\Leftrightarrow\tan^3x-\sqrt{3}=\tan x-\sqrt{3}\tan^2x\)

Đặt \(t=\tan x\), ta được phương trình:

       \(t^3+\sqrt{3}t-t-\sqrt{3}=0\)

   \(\Leftrightarrow t^2\left(t+\sqrt{3}\right)-\left(t+\sqrt{3}\right)=0\)

   \(\Leftrightarrow\left(t+\sqrt{3}\right)\left(t^2-1\right)=0\)

  \(\Leftrightarrow\left(t+\sqrt{3}\right)\left(t-1\right)\left(t+1\right)=0\)

  \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t=-\sqrt{3}\\t=1\\t=-1\end{array}\right.\)

  \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}\tan x=-\sqrt{3}\\\tan x=1\\\tan x=-1\end{array}\right.\)

  \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=-\frac{\pi}{3}+k\pi\\x=\frac{\pi}{4}+k\pi\\x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in Z.\)

Cách khác:                 \(\sin^3x-\sqrt{3}\cos^3x=\sin x\cos^2x-\sqrt{3}\sin^2x\cos x\)\(\Leftrightarrow\sqrt{3}\cos x\left(\cos^2x-\sin^2x\right)+\sin x\left(\cos^2x-\sin^2x\right)=0\)

              \(\Leftrightarrow\cos2x\left(\sqrt{3}\cos x+\sin x\right)=0\Leftrightarrow2\cos2x\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=0\)\(\Leftrightarrow\cos2x=0,\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=0\Leftrightarrow2x=\pm\dfrac{\pi}{2}+k\pi,x+\dfrac{\pi}{3}=k\pi\)

               \(\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{4}+k\pi,x=-\dfrac{\pi}{3}+k\pi\)

Click để xem thêm, còn nhiều lắm!

Tính năng này đang được xây dựng...