Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Câu hỏi trắc nghiệm

Chủ đề: Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Câu 22.

Cho hàm số \(y=f(x)\). Đồ thị hàm số \(y=f'(x)\) như hình bên.

Đặt  \(g(x) = 2f(x) + {\left( {x + 1} \right)^2}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

  1. \(g\left(1\right)< g\left(3\right)< g\left(-3\right)\).
  2. \(g\left(1\right)< g\left(3\right)=g\left(-3\right)\).
  3. \(g\left(1\right)< g\left(-3\right)< g\left(3\right)\).
  4. \(g\left(1\right)>g\left(3\right)=g\left(-3\right)\).

Hướng dẫn giải:

​Ta có \(g\left(x\right)=2f\left(x\right)+\left(x+1\right)^2\)\(g'\left(x\right)=2f'\left(x\right)+2\left(x+1\right)=2\left[f'\left(x\right)+\left(x+1\right)\right]\).

Từ đồ thị đã cho ta thấy đường thẳng \(y=-\left(x+1\right)\) cắt đồ thị \(y=f'\left(x\right)\) tại 3 điểm:

A(-3;2), B(1;-2), C(3;-4) và đồ thị  \(y=f'\left(x\right)\) nằm phía trên đường thẳng \(y=-\left(x+1\right)\) khi và chỉ khi   \(x\in\left(-\infty;-3\right)\cup\left(1;3\right)\)

Do đó  suy ra \(g'\left(x\right)\) có 3 nghiệm phân biệt \(x=-3;x=1;x=3\) 

và dương khi và chỉ khi \(x\in\left(-\infty;-3\right)\cup\left(1;3\right)\). Vậy hàm số \(y=g\left(x\right)\) có bảng biến thiên sau

         Từ đó \(g\left(1\right)< g\left(3\right)\) và \(g\left(1\right)< g\left(-3\right)\).

Còn phải so sánh với  \(g\left(-3\right)\) với \(g\left(3\right)\). Để làm điều này chú ý rằng từ đồ thị đã cho ta thấy diện tích \(S_1\) của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(x=-3;x=1;y=f'\left(x\right);y=-\left(x+1\right)\) lớn hơn diện tích \(S_2\) của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(x=1;x=3;y=f'\left(x\right);y=-\left(x+1\right)\). Mà

\(S_1=\int\limits^1_{-3}\left|f'\left(x\right)+\left(x+1\right)\right|dx=\int\limits^1_{-3}\left|g'\left(x\right)\right|dx=\int\limits^1_{-3}-g'\left(x\right)dx\)\(=g\left(-3\right)-g\left(1\right)\) và

\(S_2=\int\limits^3_1\left|f'\left(x\right)+\left(x+1\right)\right|dx=\int\limits^3_1\left|g'\left(x\right)\right|dx=\int\limits^3_1g'\left(x\right)dx=g\left(3\right)-g\left(1\right)\) , do đó

\(S_1>S_2\Rightarrow g\left(-3\right)-g\left(1\right)>g\left(3\right)-g\left(1\right)\Rightarrow g\left(-3\right)>g\left(3\right)\) .

Vì vậy     \(g\left(1\right)< g\left(3\right)< g\left(-3\right)\).                              

 


Tính năng này đang được xây dựng...