Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Câu hỏi trắc nghiệm

Chủ đề: Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Câu 21.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của SD (tham khảo hình vẽ bên). Tang của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD) bằng bao nhiêu?

  1. \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
  2. \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
  3. \(\dfrac{2}{3}\)
  4. \(\dfrac{1}{3}\)

Hướng dẫn giải:

  Cách 1 (tự luận):

    

​Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Do S.ABCD là chóp tứ giác đều nên \(SO\perp\left(ABCD\right)\)

Trong (SBD), kẻ MN // SO. Khi đó ta có \(MN\perp\left(ABCD\right)\)

Vậy nên \(\widehat{\left(BM;\left(ABCD\right)\right)}=\widehat{MBN}\)

Ta thấy rằng MN là đường trung bình tam giác SOD nên MN = SO/2 và ON = ND

Ta có \(BC=a\sqrt{2}\Rightarrow BO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow SO=\sqrt{a^2-\dfrac{a^2}{2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

Ta có \(MN=\dfrac{a\sqrt{2}}{4};BN=\dfrac{3}{4}BD=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}\)

Vậy thì \(\tan\widehat{MBN}=\dfrac{MN}{BN}=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}:\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}=\dfrac{1}{3}\)

Cách 2 (casio):                                

    Chọn hệ tọa độ như hình vẽ: Tâm đáy là gốc tọa độ, C(2;0;0), A(-2;0;0), B(0;-2;0), D(0;2;0), S(0;0;2) (chú ý rằng tất cả các cạnh của hình chóp bằng nhau theo giả thiết nên \(\Delta\)SBD = \(\Delta\)CBD, suy ra OS = OC = 2). Trung điểm M của SD có tọa độ  (0;1;1).

     Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với OZ nên có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}\left(0;0;1\right)\), đường thẳng BM có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{BM}=\left(0;3;1\right)\) . Áp dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ta có

                    \(\sin\left(BM,\left(ABCD\right)\right)=\cos\left(\overrightarrow{BM},\overrightarrow{n}\right)=\dfrac{\left|\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{BM}\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}\)

.

      Sử dụng máy tính casio tính toán như sau:

      - Nhập VCTA = (0;0;1), VCTB = (0;3;1):    w8110=0=1=Cq51210=3=1=

      - Tính   Abs(VCTA.VCTB):Abs(VCTA):Abs(VCTB): Cqcq53q57q54)Pqcq53)Pqcq54)=

     - Lưu kết quả vào biến nhớ A, trở lại MODE COMP tính \(\sin^{-1}A\) rồi tính \(\tan\left(\text{An}s\right)\):    qJzCw1qjQz=lM=

      Kết quả là   \(\dfrac{1}{3}\).


Tính năng này đang được xây dựng...