Bài 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO

Câu hỏi trắc nghiệm

Chủ đề: Bài 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO

Câu 19.

Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là AC = 11, AB = 6, BC =8. Gọi H là trực tâm tam giác và M là trung điểm cạnh BC. Tính \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}\)

  1. \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}=12\)
  2. \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}=16\)
  3. \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}=22\)
  4. \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}=-16\)

Hướng dẫn giải:

Do M là trung điểm của đoạn BC nên

    \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right),\overrightarrow{HM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}\right)\)

Vì thế    \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}=\left(-\overrightarrow{AM}\right)\left(-\overrightarrow{HM}\right)=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{HM}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}\right)\)

Vì H là trực tâm nên \(HC\perp AB,HB\perp AC\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HB}=0\), do đó

         \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HC}\right)\)

  Mà  \(\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{CB}\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{CB}\right)=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CB}\)  . Tương tự

                                           \(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}\)      

Do đó        \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HC}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}\right)=\)  

                                     \(=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{CB}.\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CB}=\dfrac{1}{4}CB^2=\dfrac{1}{4}.8^2=16\)         


Tính năng này đang được xây dựng...