Bài 2.1: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Câu hỏi trắc nghiệm

Chủ đề: Bài 2.1: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Câu 15.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+5}{-1}=\dfrac{z-3}{4}\). Phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng \(x+3=0\)?

  1. \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-5-t\\z=-3+4t\end{matrix}\right.\).
  2. \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-5+t\\z=3+4t\end{matrix}\right.\).
  3. \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-5+2t\\z=3-t\end{matrix}\right.\).
  4. \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-6-t\\z=7+4t\end{matrix}\right.\).

Hướng dẫn giải:

​              d x+3=0 A B H d'

Cách 1:  Kí hiệu (P) là mặt phẳng \(x+3=0\), d' là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (P). Cách dựng d' như sau: xác định giao điểm A của d với (P); Lấy một điểm B (khác A) thuộc đường thẳng d rồi dựng hình chiếu vuông góc H của B xuống (P). Đường thẳng AH chính là hình chiếu vuông góc d' cần dựng.

Từ phương trình chính tắc của đường thẳng d suy ra d qua B(1;-5;3) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u}\left(2;-1;4\right)\)

d và mặt phẳng \(x+3=0\) cắt nhau tại điểm A có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình 

            \(\left\{{}\begin{matrix}x+3=0\\\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+5}{-1}=\dfrac{z-3}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\\dfrac{y+5}{-1}=\dfrac{z-3}{4}=-2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-3;z=-5\end{matrix}\right.\)

Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng \(x+3=0\) tại A(-3;-3;-5).

Đường thẳng BH qua B(1;-5;3) và nhận vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(1;0;0\right)\)của (P) làm vecto chỉ phương, vì vậy BH có phương trình

                                                                            \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=-5\\z=3\end{matrix}\right.\)

H là giao điểm của (P) với đường thẳng BH nên H có tọa độ thỏa mãn \(x=-3\) và \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=-5\\z=3\end{matrix}\right.\) suy ra \(H\left(-3;-5;3\right)\).

d' qua A và H nên d' có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{AH}\left(0;-2;8\right)=2.\left(0;-1;4\right)\)  và có phương trình

              \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-5-t\\z=3+4t\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-6-\left(t-1\right)\\z=7+4\left(t-1\right)\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-6-t'\\z=7+4t'\end{matrix}\right.\)

Đáp số: \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-6-t\\z=7+4t\end{matrix}\right.\)

Cách 2: Kí hiệu (P) là mặt phẳng \(x+3=0\), mặt phẳng này có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}\left(1;0;0\right)\). Từ phương trình đường thẳng d suy ra d qua \(B\left(1;-5;3\right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{v}\left(2;-1;4\right)\). Mặt phẳng (Q) qua điểm B và nhận \(\overrightarrow{n},\overrightarrow{v}\) làm cặp vecto chỉ phương có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{n'}=\left[\overrightarrow{v},\overrightarrow{n}\right]=\left(0;4;1\right)\) và có phương trình là   \(\left(Q\right):0\left(x-1\right)+4\left(y+5\right)+1\left(z-3\right)=0\). Hình chiếu vuông góc d' của d trên mặt phẳng (P) chính là giao tuyến của (P) và (Q), vì vậy phương trình d' được xác định bởi

                           \(d':\left\{{}\begin{matrix}x+3=0\\4\left(y+5\right)+\left(z-3\right)=0\end{matrix}\right.\)  (*)

Kiểm tra các kết quả cho bởi các phương án đã nêu:

   + Với \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-5-t\\z=-3+4t\end{matrix}\right.\) thế vào (*) ta được \(d':\left\{{}\begin{matrix}x+3=0\\4\left(-t\right)+\left(4t\right)=0\end{matrix}\right.\) không thể đúng với mọi t. Vì vậy đây không theerb là phương án trả lời đúng.

   + Với \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-5+t\\z=3+4t\end{matrix}\right.\) , tương tự, thế các biểu thức y và z tính theo t vào (*) ta được \(4t+4t=0\) không đúng với mọi t, vì vậy đây cũng không phải là phương án trả lời đúng.

   + Tương tự ta thấy phương án trả lời đúng là \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-6-t\\z=7+4t\end{matrix}\right.\).

 

Câu 16.

Câu 42 đề minh họa 2017 (lần 3)

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left(P\right):6x-2y+z-35=0\) và điểm \(A\left(-1;3;6\right).\)

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua (P).  Tính \(OA'\)'.

  1. \(3\sqrt{26}\).
  2. \(5\sqrt{3}\).
  3. \(\sqrt{46}\).
  4. \(\sqrt{186}\).

Hướng dẫn giải:

​Mặt phẳng \(\left(P\right)\) đã cho có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(6;-2;1\right)\). Đường thẳng qua \(A\left(-1;3;6\right)\) vuông góc với \(\left(P\right)\) có phương

trình     \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+6t\\y=3-2t\\z=6+t\end{matrix}\right.\). Hình chiếu vuông góc \(H\) của \(A\) trên mặt phẳng \(P\) có tọa độ thỏa mãn hệ

                                                                 \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+6t\\y=3-2t\\z=6+t\\6x-2y+z-35=0\end{matrix}\right.\)

                  \(\Rightarrow6\left(-1+6t\right)-2\left(3-2t\right)+\left(6+t\right)-35=0\Rightarrow41t-41=0\Rightarrow t=1\Rightarrow H\left(5;1;7\right)\).

\(A'\) đối xứng với \(A\) qua \(\left(P\right)\) khi \(H\) là trung điểm đoạn \(AA'\), vì vậy tọa độ \(A'\) thỏa mãn 

                      \(\left\{{}\begin{matrix}x+\left(-1\right)=2.5\\y+3=2.1\\z+6=2.7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=11\\y=-1\\z=8\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow A'\left(11;-1;8\right)\Rightarrow OA'=\sqrt{11^2+\left(-1\right)^2+8^2}=\sqrt{186}\).

 

Câu 17.

Câu 47 minh họa 2017 (lần 3)

Cho mặt phẳng \(\left(P\right):x-2y+2z-3=0\) 

và mặt cầu  \(\left(S\right):x^2+y^2+z^2+2x-4y-2z+5=0\).

Giả sử điểm \(M\in\left(P\right)\) và \(N\in\left(S\right)\) sao cho vecto \(\overrightarrow{MN}\) cùng phương với vecto \(\overrightarrow{u}\left(1;0;1\right)\) và khoảng cách giữa \(M\)\(N\) lớn nhất. Tính \(MN\).

  1. \(3\)
  2. \(1+2\sqrt{2}\)
  3. \(3\sqrt{2}\).
  4. \(14\)

Hướng dẫn giải:

N H M H N I x

​Từ phương trình của \(\left(P\right)\) suy ra \(\left(P\right)\)có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}\left(1;-2;2\right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(N\) xuống mặt phẳng \(\left(P\right)\) thì góc \(\widehat{NMH}\) là góc giữa đường thẳng \(NM\) với \(\left(P\right)\).

Theo giả thiết,  \(\overrightarrow{MN}\) cùng phương với vecto \(\overrightarrow{u}\left(1;0;1\right)\) nên đường thẳng \(NM\) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{u}\left(1;0;1\right)\).

Từ đó góc giữa đường thẳng \(NM\) với mặt phẳng \(\left(P\right)\) được xác định theo cồng thức 

                                        \(\sin\widehat{NMH}=\dfrac{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}}{\left|\overrightarrow{n}\right|\left|\overrightarrow{u}\right|}=\dfrac{\left|1.1+\left(-2\right).0+2.1\right|}{\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2+2^2}.\sqrt{1^2+0^2+0^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\).

Trong tam giác vuông \(NHM\) ta có  \(NM=HN:\sin\widehat{NHM}=HN:\dfrac{1}{\sqrt{2}}=HN\sqrt{2}\). Vì vậy \(NM\) sẽ lớn nhất khi và chỉ khi \(HN\) lớn nhất. Bài toán trở thành: Tìm điểm \(N\) trên mặt cầu \(\left(S\right)\) sao cho \(N\) cách xa mặt phẳng \(\left(P\right)\) nhất. Ta thấy điều này xảy ra khi và chỉ khi \(N\) là một trong hai đầu mút của đường kính (của \(\left(S\right)\)) vuông góc với \(\left(P\right)\) (xem hình vẽ). Mặt cầu \(\left(S\right)\) có phương trình \(\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-1\right)^2=1\) (1) với tâm \(I\left(-1;2;1\right)\), bán kính \(R=1\). Khoảng cách NH lớn nhất bằng IH + IN = khoảng cách từ I tới (P) + bán kính mặt cầu.

Ta có \(IH=\dfrac{\left|-1-2.2+2.1-3\right|}{\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2+2^2}}=2\) , \(NH\)max\(=2+1=3\).Do đó \(NM_{max}=3\sqrt{2}\).

 


Tính năng này đang được xây dựng...