Bài 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Câu hỏi trắc nghiệm

Chủ đề: Bài 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Câu 10.

Hàm số \(y=\left(m-3\right)x-\left(2m+1\right)\cos x\) nghịch biến trên tập xác định của nó khi

  1. \(-\frac{1}{2}\le m\le\frac{2}{3}\).
  2. \(-4\le m< -\frac{1}{2}\).
  3. \(m< -4\) hoặc \(m>3\).
  4. \(-4\le m\le\frac{2}{3}\).

Hướng dẫn giải:

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).

  \(y'=m-3+\left(2m+1\right)\sin x\)

- Xét trường hợp $2m + 1 = 0$, hay \(m=-\frac{1}{2}\), khi đó \(y=-\frac{7}{2}x\) là hàm giảm trên \(\mathbb{R}\), thỏa mãn yêu cầu bài toán.

- Xét trường hợp $2m + 1 > 0$ , hay \(m>-\frac{1}{2}\), để hàm số giảm trên \(\mathbb{R}\) thì \(y'\le0\) với mọi $x$, điều kiện là:

      \(m-3+\left(2m+1\right)\sin x\le0\) với mọi $x$

  \(\Leftrightarrow\left(2m+1\right)\sin x\le3-m\) với mọi $x$

   \(\Leftrightarrow\sin x\le\frac{3-m}{2m+1}\)  với mọi $x$ (vì đang xét $2m+1>0$)

  \(\Leftrightarrow1\le\frac{3-m}{2m+1}\)  (vì  \(\sin x\le1\))

  \(\Leftrightarrow2m+1\le3-m\) 

  \(\Leftrightarrow m\le\frac{2}{3}\)

  Kết hợp với điệu kiện đang xét ta có: \(-\frac{1}{2}< m\le\frac{2}{3}\)

- Xét trường hợp $2m + 1 < 0$ , hay \(m< -\frac{1}{2}\), làm tương tự trên, để \(y'\le0\) với mọi $x$ thì:

   \(m-3+\left(2m+1\right)\sin x\le0\) với mọi $x$

  \(\Leftrightarrow\sin x\ge\frac{3-m}{2m+1}\) với mọi $x$ (chú ý ta đang xét $2m+1 <0$)

 \(\Leftrightarrow-1\ge\frac{3-m}{2m+1}\) (do \(\sin x\ge-1\))

  \(\Leftrightarrow-\left(2m+1\right)\le3-m\)

   \(\Leftrightarrow m\ge-4\)

 Kết hợp với trường hợp đang xét ta có: \(-4\le m< -\frac{1}{2}\)

Tổng hợp ba trường hợp ta có: \(-4\le m\le\frac{2}{3}\)

Click để xem thêm, còn nhiều lắm!

Tính năng này đang được xây dựng...