Bài 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Câu hỏi trắc nghiệm

Chủ đề: Bài 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Câu 75.

Viết phương trình đường thẳng qua A(-2;0) tạo với đường thẳng \(\left(\Delta\right):x+3y-3=0\)  một góc \(45^0\)

  1. \(\left(d_1\right);2x+3y+4=0;\left(d_2\right):3x-2y+2=0\)
  2. \(\left(d_1\right);2x-y+4=0;\left(d_2\right):x-2y+2=0\)
  3. \(\left(d_1\right);2x+y+4=0;\left(d_2\right):x-2y+2=0\)
  4. \(\left(d_1\right);2x-y+4=0;\left(d_2\right):x+2y+2=0\)

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng (d) qua A(-2;0) có phương trình dạng  \(a\left(x+2\right)+b\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow ax+by+2a=0\) (1) (với điều kiện \(a^2+b^2>0\))

Gọi \(\varphi\)là góc giữa hai đường thẳng (d) và \(\left(\Delta\right)\) thì

                                   \(\cos\varphi=\dfrac{\left|a.1+b.3\right|}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{1^2+3^2}}=\dfrac{\left|a+3b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{10}}\).

Hai đường thẳng tạo với nhau một góc \(45^0\) khi và chỉ khi \(\varphi=45^0\Leftrightarrow\cos\varphi=\cos45^0=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\), do đó

                                             \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\left|a+3b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{10}}\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{10}=\left|a+3b\right|\sqrt{2}\) \(\Leftrightarrow5\left(a^2+b^2\right)=\left(a+3b\right)^2\)

                                                                                    \(\Leftrightarrow4a^2-6ba-4b^2=0\)

Xem phương trình trên là phương trình ẩn a, tham số b ta có \(\Delta'=9b^2+16b^2=25b^2\). Phương trình có hai nghiệm  \(a=\dfrac{3b+5b}{4}=2b;a=\dfrac{3b-5b}{4}=-\dfrac{b}{2}\).

Vậy có 2 đường thẳng tạo với đường thẳng \(\left(\Delta\right)\) một góc \(45^0\), cụ thể là:

Vơi \(a=2b\) thế vào (1) ta được    \(\left(d_1\right):2bx+by+2\left(2b\right)=0\Leftrightarrow2x+y+4=0\)

Với \(a=-\dfrac{b}{2}\) thế vào (1) ta được   \(\left(d_2\right):\dfrac{-b}{2}x+by+2.\left(-\dfrac{b}{2}\right)=0\Leftrightarrow x-2y+2=0\).

Đáp số: \(\left(d_1\right);2x+y+4=0;\left(d_2\right):x-2y+2=0\)

Câu 76.

Viết phương trình đường thẳng qua A(-1;2) tạo với đường thẳng \(\left(\Delta\right):\left\{{}\begin{matrix}x=2+3t\\y=-2t\end{matrix}\right.\)  một góc \(60^0\)

  1. \(\left(d_1\right):\left\{{}\begin{matrix}x=-1+(24-\sqrt{507})t\\y=2+t\end{matrix}\right.;\left(d_2\right):\left\{{}\begin{matrix}x=-1+(24+\sqrt{507})t\\y=2+t\end{matrix}\right.\)
  2. \(\left(d_1\right);2x-y+4=0;\left(d_2\right):x-2y-3=0\)
  3. \(\left(d_1\right):\left\{{}\begin{matrix}x=-1+\dfrac{24-\sqrt{507}}{23}t\\y=2+t\end{matrix}\right.;\left(d_2\right):\left\{{}\begin{matrix}x=-1+\dfrac{24+\sqrt{507}}{23}t\\y=2+t\end{matrix}\right.\)
  4. \(\left(d_1\right);2x-y+4=0;\left(d_2\right):x+2y-3=0\)

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng (d) qua A(-2;0) có phương trình tham số dạng  \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+at\\y=2+bt\end{matrix}\right.\) (1) (với điều kiện \(a^2+b^2>0\)).  Hai đường thẳng (d), \(\left(\Delta\right)\) có vecto chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow{v}\left(a;b\right)\) và \(\overrightarrow{u}\left(3;-2\right)\). Gọi \(\varphi\)là góc giữa hai đường thẳng (d) và \(\left(\Delta\right)\) thì

                                   \(\cos\varphi=\dfrac{\left|a.3+b.\left(-2\right)\right|}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{3^2+\left(-2\right)^2}}=\dfrac{\left|3a-2b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{13}}\).

Hai đường thẳng tạo với nhau một góc \(60^0\) khi và chỉ khi \(\varphi=60^0\Leftrightarrow\cos\varphi=\cos60^0=\dfrac{1}{2}\), do đó

                                             \(\dfrac{1}{2}=\dfrac{\left|3a-2b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{13}}\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{13}=\left|3a-2b\right|2\) \(\Leftrightarrow13\left(a^2+b^2\right)=4\left(3a-2b\right)^2\)

                                                                                    \(\Leftrightarrow23a^2-48ba+3b^2=0\)

Xem phương trình trên là phương trình ẩn a, tham số b ta có \(\Delta'=\left(24b\right)^2-23.3b^2=507b^2\). Phương trình có hai nghiệm  \(a=\dfrac{24b-\sqrt{507}b}{23};a=\dfrac{24b+\sqrt{507}b}{23}\).

Vậy có 2 đường thẳng tạo với đường thẳng \(\left(\Delta\right)\) một góc \(60^0\), cụ thể là:

Vơi \(a=\dfrac{24b-\sqrt{507}b}{23}\) , chọn \(b=1\)thế vào (1) ta được    \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+\dfrac{24+\sqrt{507}}{23}t\\y=2+t\end{matrix}\right.\)

Với \(a=\dfrac{24b+\sqrt{507}b}{23}\), chọn \(b=1\) thế vào (1) ta được   \(\left(d_2\right):\dfrac{-b}{2}x+by+2.\left(-\dfrac{b}{2}\right)=0\Leftrightarrow x-2y+2=0\).

Đáp số: \(\left(d_1\right):\left\{{}\begin{matrix}x=-1+\dfrac{24-\sqrt{507}}{23}t\\y=2+t\end{matrix}\right.;\left(d_2\right):\left\{{}\begin{matrix}x=-1+\dfrac{24+\sqrt{507}}{23}t\\y=2+t\end{matrix}\right.\)

Câu 78.

Viết phương trình đường thẳng (d) qua A(1;1) và cách điểm B(3;6) một khoảng bằng 2.

  1. \(\left(d_1\right):y-1=0;\left(d_2\right):21x-20y-1=0\)
  2. \(\left(d_1\right):x-1=0;\left(d_2\right):21x-20y-1=0\)
  3. \(\left(d_1\right):x-1=0;\left(d_2\right):21x+20y-1=0\)
  4. \(\left(d_1\right):x-1=0;\left(d_2\right):-21x+20y-1=0\)

Hướng dẫn giải:

(d) qua A(1;1) có phương trình tổng quát dạng    \(a\left(x-1\right)+b\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow ax+by-\left(a+b\right)=0\) (1) (với điều kiện ​\(a^2+b^2>0\))

(d) cách điểm B(3;6) một khoảng bằng 2 nghĩa là    \(\dfrac{\left|a\left(3-1\right)+b\left(6-1\right)\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=2\Leftrightarrow\left|2a+5b\right|=2\sqrt{a^2+b^2}\)

                                        \(\Leftrightarrow\left(2a+5b\right)^2=4\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow20ab+21b^2=0\Leftrightarrow b=0;b=-\dfrac{20}{21}a\)

Như vậy phương trình 2 ẩn a, b trên có 2 nghiệm:   \(\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\b=0\end{matrix}\right.\) và  \(\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\b=-\dfrac{20}{21}a\end{matrix}\right.\)  (chú ý điều kiện \(a^2+b^2>0\)).

Với \(\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\b=0\end{matrix}\right.\) thế vào (1) ta được \(a\left(x-1\right)+b\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow a\left(x-1\right)-0\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x-1=0\)

Với \(\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\b=-\dfrac{20}{21}a\end{matrix}\right.\)  thế vào (1) ta được \(a\left(x-1\right)+b\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow a\left(x-1\right)-\dfrac{20}{21}\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)-\dfrac{20}{21}\left(y-1\right)=0\)\(\Leftrightarrow21x-20y-1=0\)

Đáp số: \(\left(d_1\right):x-1=0;\left(d_2\right):21x-20y-1=0\)

Click để xem thêm, còn nhiều lắm!

Tính năng này đang được xây dựng...