Bài 1: Nguyên hàm

Câu hỏi trắc nghiệm

Chủ đề: Bài 1: Nguyên hàm

Câu 17.

Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=x^3+x\) là

  1. \(3x^2+1+C\).
  2. \(x^4+x^2+C\).
  3. \(x^3+x+C\).
  4. \(\dfrac{1}{4}x^4+\dfrac{1}{2}x^2+C\).

Hướng dẫn giải:

​Cách 1: Sử dụng tính chất  \(\int\left(u+v\right)\text{d}x=\int u\text{d}x+\int v\text{d}x\)và công thức \(\int x^{\alpha}\text{d}x=\dfrac{1}{\alpha+1}x^{\alpha}+C\) ta có

                \(\int f\left(x\right)\text{d}x=\int(x^3+x)\text{d}x=\int x^3\text{d}x+\int x\text{d}x=\dfrac{1}{4}x^4+\dfrac{1}{2}x^2+C\)    

Cách 2: Kiểm tra từng đáp số 

- Với đáp số \(3x^2+1+C\) :    \(\left(3x^2+1\right)'=\left(3x^2\right)'+\left(1\right)'=6x\ne x^3+x\). Đáp số này sai.

Tương tự kiểm tra các đáp số còn lại ta thấy đáp số đúng là \(\dfrac{1}{4}x^4+\dfrac{1}{2}x^2+C\).

Cách 3 (sử dụng MTCT): Để làm theo hai cách trên các em cần nhớ các tính chất của nguyên hàm và các công thức nguyên hàm cơ bản (cách 1) hoặc nhớ các tính chất của đạo hàm và các công thức đạo hàm cơ bản (cách 2). Tuy nhiên, bằng cách sử dụng MTCT ta cũng có thể tìm ra đáp số đúng kể cả khi không nhớ dược các kiến thức nói trên.

Để kiểm tra đẳng thức \(\int f\left(x\right)\text{d}x=F\left(x\right)+C\) bằng MTCT ta làm như sau: 

Bước 1: Chọn \(a,b\) sao cho \(f\left(x\right)\) xác định trên đoạn \(\left[a;b\right]\)

Bước 2:Tính \(\int\limits^b_af\left(x\right)\text{d}x\) và lưu kết quả vào ô nhớ M. 

Bước 3:  Nhập biểu thức \(F\left(x\right)\).

Bước 4: CALC với \(x=a.\)

Bước 5: CALC với \(x=b.\)

Bước 6: Tính Ans - PreAns - M. Nếu kết quả khác \(0\) thì chắc chắn đẳng thức đang xét sai. Nếu kết quả bằng \(0\) thì nhiều khả năng đẳng thức đúng, nên thử lại với những \(a,b\)  chọn khác.

Đáp số \(3x^2+1+C\) Đáp số \(x^4+x^2+C\) Đáp số \(x^3+x+C\) Đáp số \(\dfrac{1}{4}x^4+\dfrac{1}{2}x^2+C\)

 

 

 

 

Câu 25.

Cho hàm số \(F\left(x\right)\) có \(F'\left(x\right)=\dfrac{2}{\left(2x-1\right)^2}-\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}\). Khẳng định nào sau đây đúng?

  1. \(F\left(x\right)=\dfrac{1}{2x-1}-\dfrac{1}{x-1}+C\).
  2. \(F\left(x\right)=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{2x-1}+C\).
  3. \(F\left(x\right)=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{2}{2x-1}+C\).
  4. \(F\left(x\right)=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{C}{2x-1}\).

Hướng dẫn

Cách 1: Thực chất bài toán là tìm các nguyên hàm của hàm số \(\dfrac{2}{\left(2x-1\right)^2}-\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}\) . Ta có

                              \(\int\dfrac{2}{\left(2x-1\right)^2}\text{d}x=\int\dfrac{\text{d}\left(2x-1\right)}{\left(2x-1\right)^2}=-\dfrac{1}{2x-1}+C\)      và  \(\int-\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}\text{d}x=\int\dfrac{-\text{d}\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^2}=\dfrac{1}{x-1}+C\)

nên \(F\left(x\right)=\int\left(\dfrac{2}{\left(2x-1\right)^2}-\dfrac{1}{x-1}\right)\text{d}x=-\dfrac{1}{2x-1}+\dfrac{1}{x-1}+C\) . 

Cách 2 (dùng MTCT): Từ giả thiết \(F'\left(x\right)=\dfrac{2}{\left(2x-1\right)^2}-\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}\)  suy ra  \(F'\left(0\right)=1.\)Tính

\(\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\dfrac{1}{2x-1}-\dfrac{1}{x-1}\right)|_{x=0}=\)  (1)

\(\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{2x-1}\right)|_{x=0}=\)

\(\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{2}{2x-1}\right)|_{x=0}=\) (2)

\(\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{3}{2x-1}\right)|_{x=0}=\)    (3)

Từ (3) và (2) suy ra \(F\left(x\right)=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{C}{2x-1}\) là đáp số sai ; từ (1) và (2) suy ra \(F\left(x\right)=\dfrac{1}{2x-1}-\dfrac{1}{x-1}+C\) và \(F\left(x\right)=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{2}{2x-1}+C\) là đáp số sai. Vậy đáp số đúng là \(F\left(x\right)=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{2x-1}+C\).

Click để xem thêm, còn nhiều lắm!

Tính năng này đang được xây dựng...