§2.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Câu hỏi trắc nghiệm

Chủ đề: §2.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Câu 15.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+5}{-1}=\dfrac{z-3}{4}\). Phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng \(x+3=0\)?

  1. \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-5-t\\z=-3+4t\end{matrix}\right.\).
  2. \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-5+t\\z=3+4t\end{matrix}\right.\).
  3. \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-5+2t\\z=3-t\end{matrix}\right.\).
  4. \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-6-t\\z=7+4t\end{matrix}\right.\).

Hướng dẫn giải:

​              d x+3=0 A B H d'

Cách 1:  Kí hiệu (P) là mặt phẳng \(x+3=0\), d' là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (P). Cách dựng d' như sau: xác định giao điểm A của d với (P); Lấy một điểm B (khác A) thuộc đường thẳng d rồi dựng hình chiếu vuông góc H của B xuống (P). Đường thẳng AH chính là hình chiếu vuông góc d' cần dựng.

Từ phương trình chính tắc của đường thẳng d suy ra d qua B(1;-5;3) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u}\left(2;-1;4\right)\)

d và mặt phẳng \(x+3=0\) cắt nhau tại điểm A có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình 

            \(\left\{{}\begin{matrix}x+3=0\\\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+5}{-1}=\dfrac{z-3}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\\dfrac{y+5}{-1}=\dfrac{z-3}{4}=-2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-3;z=-5\end{matrix}\right.\)

Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng \(x+3=0\) tại A(-3;-3;-5).

Đường thẳng BH qua B(1;-5;3) và nhận vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(1;0;0\right)\)của (P) làm vecto chỉ phương, vì vậy BH có phương trình

                                                                            \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=-5\\z=3\end{matrix}\right.\)

H là giao điểm của (P) với đường thẳng BH nên H có tọa độ thỏa mãn \(x=-3\) và \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=-5\\z=3\end{matrix}\right.\) suy ra \(H\left(-3;-5;3\right)\).

d' qua A và H nên d' có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{AH}\left(0;-2;8\right)=2.\left(0;-1;4\right)\)  và có phương trình

              \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-5-t\\z=3+4t\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-6-\left(t-1\right)\\z=7+4\left(t-1\right)\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-6-t'\\z=7+4t'\end{matrix}\right.\)

Đáp số: \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-6-t\\z=7+4t\end{matrix}\right.\)

Cách 2: Kí hiệu (P) là mặt phẳng \(x+3=0\), mặt phẳng này có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}\left(1;0;0\right)\). Từ phương trình đường thẳng d suy ra d qua \(B\left(1;-5;3\right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{v}\left(2;-1;4\right)\). Mặt phẳng (Q) qua điểm B và nhận \(\overrightarrow{n},\overrightarrow{v}\) làm cặp vecto chỉ phương có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{n'}=\left[\overrightarrow{v},\overrightarrow{n}\right]=\left(0;4;1\right)\) và có phương trình là   \(\left(Q\right):0\left(x-1\right)+4\left(y+5\right)+1\left(z-3\right)=0\). Hình chiếu vuông góc d' của d trên mặt phẳng (P) chính là giao tuyến của (P) và (Q), vì vậy phương trình d' được xác định bởi

                           \(d':\left\{{}\begin{matrix}x+3=0\\4\left(y+5\right)+\left(z-3\right)=0\end{matrix}\right.\)  (*)

Kiểm tra các kết quả cho bởi các phương án đã nêu:

   + Với \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-5-t\\z=-3+4t\end{matrix}\right.\) thế vào (*) ta được \(d':\left\{{}\begin{matrix}x+3=0\\4\left(-t\right)+\left(4t\right)=0\end{matrix}\right.\) không thể đúng với mọi t. Vì vậy đây không theerb là phương án trả lời đúng.

   + Với \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-5+t\\z=3+4t\end{matrix}\right.\) , tương tự, thế các biểu thức y và z tính theo t vào (*) ta được \(4t+4t=0\) không đúng với mọi t, vì vậy đây cũng không phải là phương án trả lời đúng.

   + Tương tự ta thấy phương án trả lời đúng là \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-6-t\\z=7+4t\end{matrix}\right.\).

 

Câu 17.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left(P\right):x-2y+2z-3=0\) và mặt cầu 

\(x^2+y^2+z^2+2x-4y-2z+5=0\). Giả sử điểm \(M\in\left(P\right)\) và \(N\in\left(S\right)\) sao cho vecto \(\overrightarrow{MN}\) cùng phương với vecto \(\overrightarrow{u}\left(1;0;1\right)\) và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN.

  1. 3.
  2. \(1+2\sqrt{2}\).
  3. \(3\sqrt{2}\).
  4. 14.

Hướng dẫn giải:

N H M H N I x

​Từ phương trình của (P) suy ra (P) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}\left(1;-2;2\right)\). Gọi H là hình chiếu vuông góc của N xuống mặt phẳng (P) thì góc \(\widehat{NMH}\) là góc giữa đường thẳng NM với (P). Theo giả thiết,  \(\overrightarrow{MN}\) cùng phương với vecto \(\overrightarrow{u}\left(1;0;1\right)\) nên đường thẳng NM có vecto chỉ phương là

\(\overrightarrow{u}\left(1;0;1\right)\), từ đó góc giữa đường thẳng NM với mặt phẳng (P) được xác định bởi 

                                        \(\sin\widehat{NMH}=\dfrac{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}}{\left|\overrightarrow{n}\right|\left|\overrightarrow{u}\right|}=\dfrac{\left|1.1+\left(-2\right).0+2.1\right|}{\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2+2^2}.\sqrt{1^2+0^2+0^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\).

Trong tam giác vuông  NHM ta có  \(NM=HN:\sin\widehat{NHM}=HN:\dfrac{1}{\sqrt{2}}=HN\sqrt{2}\). Vì vậy NM sẽ lớn nhất khi và chỉ khi HN lớn nhất. Bài toán trở thành: Tìm điểm N trên mặt cầu (S) sao cho N cách xa mặt phẳng (P) nhất. Ta thấy điều này xảy ra khi và chỉ khi N là một trong hai đầu mút của đường kính (của (S)) vuông góc với (P) (xem hình vẽ). Mặt cầu (S) có phương trình \(\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-1\right)^2=1\) (1) với tâm I(-1;2;1), bán kính \(R=1\). Khoảng cách NH lớn nhất bằng IH + IN = khoảng cách từ I tới (P) + bán kính mặt cầu.

Ta có \(IH=\dfrac{\left|-1-2.2+2.1-3\right|}{\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2+2^2}}=2\) , NHmax=2 + 1= 3.Do đó \(NM_{max}=3\sqrt{2}\).

 


Tính năng này đang được xây dựng...