§5. Dấu của tam thức bậc hai

Câu hỏi trắc nghiệm

Chủ đề: §5. Dấu của tam thức bậc hai

Câu 8.

Tìm tập nghiệm của hệ bất phương trình          \({}\)\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+4}{x-1}\ge0\\3x-1\ge1+x\\\dfrac{\left(x+2\right)\left(2x-4\right)}{x-1}\le0\end{matrix}\right.\)

  1. [-4;-2)
  2. (-2;1)
  3. (1;2]
  4. (2;4]

Hướng dẫn giải

Xét tâm các khoảng nghiệm cho trong 4 phương án trả lời:  -3 ;  -0,5   ;  1,5   ;  3. Ta thấy:

   +  \(x=-3\) không thỏa mãn bất phương trình thứ nhất của hệ nên đáp số \([-4;-2\) ) là sai.

   + \(x=-0,5\) không thỏa mãn bất phương trình thứ nhất của hệ nên đáp số (-2 ; 1) cũng sai.

   + \(x=3\) không thỏa mãn bất phương trình thứ ba nên đáp số (2; 4] sai.

Vậy đáp án (1; 2] là đúng.

Có thể tìm tập nghiệm của hệ đã cho như sau (trong phòng thi, học sinh khong phải làm):

Giải lần lượt từng bất phương trình của hệ ta có:

   + \(\dfrac{x+4}{x-1}\ge0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1\ne0\\\left(x+4\right)\left(x-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow-\infty< x\le-4;1< x< +\infty\).

   +  \(3x-1\ge1+x\Leftrightarrow2x\ge2\Leftrightarrow1\le x< +\infty\)

   +  \(\dfrac{\left(x+2\right)\left(2x-4\right)}{x-1}\le0\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x\ne1\\\left(x+2\right)\left(2x-4\right)\left(x-1\right)\le0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow-\infty< x\le-2;1< x\le2\)

Nghiệm chung của ba bất phương trình là \(1< x\le2\).

Tập nghiệm của hệ là (1;2].​

Câu 12.

Giải hệ bất phương trình \(\left\{\begin{matrix}\left|x^2-4x\right|< 5\\\left|x+1\right|< 2\end{matrix}\right.\) 

  1. \(-4< x< -1\)
  2. \(-1< x< 1\)
  3. \(1< x< 2\)
  4. \(2< x< 5\)

Hướng dẫn giải:

\(\left\{\begin{matrix}\left|x^2-4x\right|< 5\\\left|x+1\right|< 2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}-5< x^2-4x< 5\\\left[\begin{matrix}x+1>3\\x+1< -3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}-1< x< 5\\x>2Vx< -4\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow2< x< 5\)

Cách khác: Xét \(f\left(x\right)=\left|x^2-4x\right|,g\left(x\right)=\left|x+1\right|\) . Hệ đã cho có dạng   \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)< 5\\g\left(x\right)>2\end{matrix}\right.\) .

- Xét \(x=-\dfrac{5}{2}\) (tâm khoảng \(-4< x< -1\) ) ta thấy \(g\left(-\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{3}{2}< 2\)  suy ra \(x=-\dfrac{5}{2}\) không là nghiệm của hệ. Vì vậy đáp số  \(-4< x< -1\) là sai (thừa nghiệm \(x=-\dfrac{5}{2}\)).

- Xét  \(x=0\) (tâm khoảng (-1; 1). Ta thấy  \(f\left(0\right)=0,g\left(0\right)=1\) nên \(x=0\) là một nghiệm của hệ, vì vậy đáp số 1 < x < 2  sai vì thiếu nghiệm \(x=0\).

- Xét \(x=\dfrac{3}{2}\) (tâm khoảng 1<x<2 ) có \(f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{15}{4}< 5\) và \(g\left(\dfrac{3}{2}\right)=2,5>2\) . Suy ra \(x=\dfrac{3}{2}\) là một nghiệm của hệ, do đó 

-1 <x < 1 là đáp số sai  (tthiếu nghiệm \(x=\dfrac{3}{2}\)).

Vậy đáp số đúng là 2 < x < 5.

Câu 14.

Tìm tập nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{\begin{matrix}\frac{16-4x}{x^2-x-12}< 4\\\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-1}>\frac{1}{x}\end{matrix}\right.\) .

  1. \(\left(-\sqrt{2},0\right)\cup\left(1,\sqrt{2}\right)\cup\left(2,4\right)\)
  2. \(\left(-4,-3\right)\cup\left(0,1\right)\cup\left(\sqrt{2},2\right)\)
  3. \(\left(-3,-\sqrt{2}\right)\cup\left(4,+\infty\right)\)
  4. \(\left(-4,-\sqrt{2}\right)\cup\left(1,+\infty\right)\)

Hướng dẫn giải:

Các đáp số  \(\left(-4,-3\right)\cup\left(0,1\right)\cup\left(\sqrt{2},2\right)\) , \(\left(-3,-\sqrt{2}\right)\cup\left(4,+\infty\right)\) , \(\left(-4,-\sqrt{2}\right)\cup\left(1,+\infty\right)\) đều sai vì thiếu nghiệm \(x=3\).

Vậy đáp số đúng là  \(\left(-\sqrt{2},0\right)\cup\left(1,\sqrt{2}\right)\cup\left(2,4\right)\).

Chú ý: có thể tìm tập nghiệm của hệ đã cho như sau (học sinh không cần làm điều này):

Viết lại hệ bất phương trình đã cho dưới dạng  \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{64-4x^2}{x^2-x-12}< 0\\\dfrac{x^2-2}{x\left(x^2-3x+2\right)}>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(64-4x^2\right)\left(x^2-x-12\right)< 0\\\left(x^2-2\right)x\left(x^2-3x+2\right)>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\in\left(-\infty;-4\right)\cup\left(-3;4\right)\\x\in\left(-\sqrt{2};0\right)\cup\left(1;\sqrt{2}\right)\cup\left(2;+\infty\right)\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x\in\left(-\sqrt{2};0\right)\cup\left(1;\sqrt{2}\right)\cup\left(2;4\right)\)

 

Câu 15.

Giải hệ bất phương trình \(\left\{\begin{matrix}\frac{1}{3x}< 1\\x+\frac{4}{3}\ge\frac{4}{3x}\\4x^2-5x+1< 0\end{matrix}\right.\) .

  1. \(-2\le x< 0\)
  2. \(\frac{1}{4}< x< \frac{1}{3}\)
  3. \(\frac{1}{3}< x\le\frac{2}{3}\)
  4. \(\frac{2}{3}\le x< 1\)

Hướng dẫn giải:

- Đáp số \(-2\le x< 0\) sai vì \(x=-1\) không thỏa mãn bất phương trình thứ ba của hệ.

- Đáp số \(\frac{1}{4}< x< \frac{1}{3}\) sai vì \(x=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{7}{24}\) không thỏa mãn bất phương trình thứ nhất của hệ.

- Đáp số \(\frac{1}{3}< x\le\frac{2}{3}\) cũng sai vì \(x=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\) không thoả mãn phương trình thứ hai của hệ.

Vậy chỉ còn đáp số \(\frac{2}{3}\le x< 1\) là đúng.

Chú ý: Có thể tìm tập nghiệm của hệ như sau (học sinh không cần làm điều này trong phòng thi): Quy đồng mẫu số, hệ bất phương trình đã cho tương đương với 

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1-3x}{3x}< 0\\\dfrac{3x^2+4x-4}{3x}\ge0\\4x^2-5x+1< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(1-3x\right)3x< 0\\3x\left(3x^2+4x-4\right)\ge0\\4x^2-5x+1< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\in\left(-\infty;0\right)\cup\left(\dfrac{1}{3};+\infty\right)\\-2\le x< 0;\dfrac{2}{3}\le x< +\infty\\\dfrac{1}{4}< x< 1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{3}\le x< 1\)

Câu 16.

Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hệ bất phương trình  \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-6x+5\le0\\x^2-2\left(a+1\right)x+a^2+1\le0\end{matrix}\right.\)  có nghiệm.   

  1. \(0\le a\le2\)
  2. \(0\le a\le4\)
  3. \(2\le a\le4\)
  4. \(0\le a\le8\)

Hướng dẫn giải:

Ta thấy trong 4 phương án trả lời, đáp số \(0\le a\le8\) "lớn nhất", chọn \(a=5\) thuộc đáp số này mà không thuộc các đáp số còn lại để thử thì thấy: khi \(a=5\) hệ đã cho là \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-6x+5\le0\\x^2-12x+26\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\in\left[1;5\right]\\x\in\left[6-\sqrt{10};6+\sqrt{10}\right]\end{matrix}\right.\) , rõ ràng \(x=5\) là một nghiệm của hệ, Vì vậy các đáp số \(0\le a\le2\) ; \(0\le a\le4\) ;  \(2\le a\le4\) đều sai vì đều "thiếu" giá trị \(a=5\) làm hệ đã cho có nghiệm.

Vậy đáp số đúng phải là \(0\le a\le8\).

Chú ý: có thể tìm đáp số đúng của bài toán như sau (học sinh không cần làm thế này trong phòng thi):

Bất phương trình thứ nhất của hệ có tập nghiệm là \(N_1\left[1;5\right]\). Tam thức bậc hai \(f\left(x\right)=x^2-2\left(a+1\right)x+a^2+1\) có biệt số

\(\Delta'=2a\). Nếu \(\Delta'< 0\) thì  \(f\left(x\right)>,\forall x\), bất phương trình thứ hai vô nghiệm, hệ cũng vô nghiệm.

Nếu  \(\Delta'\ge0\) (hay \(a\ge0\)) thì bất \(f\left(x\right)\) có hai nghiệm  \(x_1=\left(a+1\right)-\sqrt{2a};x_2=\left(a+1\right)+\sqrt{2a}\),  bất phương trình thứ hai có tập nghiệm là \(N_2=\left[x_1;x_2\right]\). Hệ sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi đoạn \(\left[1;5\right]\) nằm hoàn toàn ngoài đoạn \(\left[x_1;x_2\right]\) , điều này chỉ xảy ra khi \(x_1>5\) hoặc \(x_2< 1\). Tuy nhiên, với \(a\ge0\) thì \(x_2=a+1+\sqrt{2a}\ge1\) nên hệ chỉ vô nghiệm khi 

\(x_1>5\Leftrightarrow a+1-\sqrt{2a}>5\Leftrightarrow a-4>\sqrt{2a}\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}a-4>0\\a^2-8a+16>2a\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}a>4\\a^2-10a+16>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow a>8\).

Tổng hợp các kết quả, ta thấy hệ đã cho sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi \(a< 0\) hoặc \(a>8\). Vì thế, các giá trị của a làm cho hệ có nghiệm là  \(0\le a\le8\).

 

 

Câu 17.

Tìm các giá trị của a để hệ bất phương trình sau vô nghiệm \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+7x-8\le0\\a^2x+1>3+\left(3a-2\right)x\end{matrix}\right.\) 

  1. \(a< 0\) hay \(a>2\)
  2. \(0< a< 1\)
  3. \(1< a< 2\)
  4. \(0\le a\le3\)

Hướng dẫn giải:

Hệ đã cho tương đương với   \(\left\{{}\begin{matrix}-8\le x\le1\\\left(a^2-3a+2\right)x-2>0\end{matrix}\right.\) .

Khi \(a=0\), bất phương trình thứ hai của hệ là  \(2x-2>0\Leftrightarrow x>1\) hệ đã cho vô nghiệm. Các đáp số: 

     +  \(a< 0\) hay \(a>2\)  sai 

      + \(0< a< 1\)

     + \(1< a< 2\) 

đều sai  vì sót giá trị \(a=0\) . Đáp số đúng phải là   \(0\le a\le3\) .

Chú ý: có thể kiểm tra được khẳng định \(0\le a\le3\) là đáp số đúng như sau (tuy nhiên, trong phòng thi học sinh không phải làm điều này): Hệ \(\left\{{}\begin{matrix}-8\le x\le1\\\left(a^2-3a+2\right)x-2>0\end{matrix}\right.\) sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi đồ thị hàm số  \(y=f\left(x\right)=\left(a^2-3a+2\right)x-2\) với 

\(x\in[-8;1]\) phải nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành. Mà đồ thị đó là đoạn thẳng nối hai điểm \(A\left(-8;f\left(-8\right)\right)\) và \(B\left(1;f\left(1\right)\right)\) nên để đoạn AB nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành thì điều kiện cần và đủ là A, B nằm phía dưới Ox, tức là

\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(-8\right)\le0\\f\left(1\right)\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a^2-3a+2\right).\left(-8\right)-2\le0\\\left(a^2-3a+2\right).1-2\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a^2-12a+7\ge0\\a^2-3a\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow0\le a\le3\).

Câu 18.

Tìm tất cả các giá trị của  m để hệ bất phương trình \(\left\{\begin{matrix}x^2+2x-15\le0\\\left(m+1\right)x\ge3\end{matrix}\right.\)  có nghiệm.

  1. \(m\in R\backslash\left(-\frac{8}{5},0\right)\)
  2. \(m\in R\backslash\left(0;\frac{8}{5}\right)\)
  3. \(m\in R\backslash\left(0;\frac{9}{5}\right)\)
  4. \(m\in R\backslash\left(-\frac{9}{5},0\right)\)

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Bất phương trình thứ nhất của hệ có tập nghiệm là đoạn  \([-5;3]\) .

Nếu \(m=-1\) thì bất phương trình thứ hai của hệ là \(0x\ge3\) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm.

Nếu \(m\ne-1\) thì bất phương trình thứ hai của hệ đã cho là một bất phương trình bậc nhất, có tập nghiệm là một nửa khoảng. Hệ đã cho sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi đoạn \([-5;3]\) không có điểm chung với nửa khoảng đó, điều này tương đương với hai đầu mút của đoạn \([-5;3]\) không phải là nghiệm của bất phương trình thứ hai, tức là  

                                            \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m+1\right).\left(-5\right)< 3\\\left(m+1\right).3< 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-\dfrac{8}{5}< m< 0\)\(\Leftrightarrow m\in\left(-\dfrac{8}{5};0\right)\) (bỏ đi \(m=-1\) )

Tổng hợp cả hai trường hợp, ta thấy hệ đã cho sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi \(\Leftrightarrow m\in\left(-\dfrac{8}{5};0\right)\); hệ sẽ có nghiệm khi và chỉ khi 

\(m\in R\backslash\left(-\frac{8}{5},0\right)\).

Đáp số: \(m\in R\backslash\left(-\frac{8}{5},0\right)\).

Cách 2: Hệ đã cho tương đương với   \(\left\{{}\begin{matrix}x\in[-5;3]\\f\left(x\right)=\left(m+1\right)x-3\ge0\end{matrix}\right.\) . Hệ sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi \(f\left(x\right)< 0,\) \(\forall x\in[-5;3]\) ,

tức là đoạn thẳng    \(\left\{{}\begin{matrix}x\in[-5;3]\\y=f\left(x\right)=\left(m+1\right)x-3\end{matrix}\right.\)  nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành. Điều này xảy ra khi và chỉ khi cả hai đầu mút của đoạn là \(A\left(-5;-5m-8\right)\) và \(B\left(3;3m\right)\)  nằm phía dưới Ox .

Vậy hệ sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}-5m-8< 0\\3m< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-\dfrac{8}{5}< m< 0\Leftrightarrow m\in\left(-\dfrac{8}{5};0\right)\).

Hệ sẽ có nghiệm khi và chỉ khi \(m\in R\backslash\left(-\frac{8}{5},0\right)\) . Đây chính là đáp số của bài toán.

Câu 20.

Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình \(\left|\frac{x^2+mx+1}{x^2+1}\right|< 2\)  đúng với mọi \(x\).

  1. \(m\in\left(-6;-2\right)\)
  2. \(m\in\left(-2;2\right)\)
  3. \(m\in\left(2;6\right)\)
  4. \(m\in\left(-6;6\right)\)

Hướng dẫn giải:

Xét các hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{x^2+3x+1}{x^2+1}\)  và \(g\left(x\right)=\dfrac{x^2-3x+1}{x^2+1}\) . Sử dụng MTCT ta tính được ngay 

\(f\left(\dfrac{3}{2}\right)=g\left(-\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{31}{13}\)  \(\Rightarrow\left|f\left(\dfrac{3}{2}\right)\right|=\left|g\left(-\dfrac{3}{2}\right)\right|=\dfrac{31}{13}>2\) . Do đó khi m = 3 thì bất phương trình đã cho không được nghiệm đúng với \(x=\dfrac{3}{2}\), khi m = -3 thì bất phương trình đã cho không được nghiệm đúng với \(x=-\dfrac{3}{2}\) . Vì vậy các đáp số  \(m\in\left(-6;-2\right)\), \(m\in\left(2;6\right)\), \(m\in\left(-6;6\right)\) đều sai. Đáp án đúng chỉ có thể là  \(m\in\left(-2;2\right)\).

Có thể chứng minh tính đúng đắn của đáp số như sau (học sinh không cần phải làm điều này):

Ta có  \(\left|\frac{x^2+mx+1}{x^2+1}\right|< 2\)\(\Leftrightarrow\)\(-2< \dfrac{x^2+mx+1}{x^2+1}< 2\) \(\Leftrightarrow\) \(-2\left(x^2+1\right)< x^2+mx+1< 2\left(x^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-mx+1>0\\3x^2+mx+3>0\end{matrix}\right.\). Bất phương trình đã cho sẽ đúng với mọi \(x\) khi và chỉ khi cả hai tam thức bậc hai  \(x^2-mx+1\) và \(3x^2+mx+3\) đều luôn luôn dương, tức là phải có 

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta_1=m^2-4< 0\\\Delta_2=m^2-36< 0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow m^2< 4\Leftrightarrow-2< m< 2\Leftrightarrow m\in\left(-2;2\right)\).

Đáp số: \(m\in\left(-2;2\right)\)

Câu 21.

Tìm các giá trị của tham số m để  hệ bất phương trình  \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+10x+9\le0\\x^2-2x+1-m\le0\end{matrix}\right.\) có nghiệm. 

  1. \(m>2\)
  2. \(m\ge4\)
  3. \(m\in\left(0;4\right)\)
  4. \(m\in\left(0;2\right)\)

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Khi m = 4, hệ đã bất phương trình đã cho có nghiệm vì với m = 4 hệ đã cho là:

                  \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+10x+9\le0\\x^2-2x-3\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x\in[-9;-1]\\x\in[-1;3]\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=-1\) .

Do đó các đáp số \(m>2\) hay \(m\in\left(0;4\right)\) hay \(m\in\left(0;2\right)\) đều sai ( thiếu giá trị \(m=4\) ).

Vậy đáp số đúng là \(m\ge4\) .

Cách 2: Bất phương trình đầu có tập nghiệm là đoạn [-9;-1]. Viết lại bất phương trình thứ hai dưới dạng \(\left(x-1\right)^2\le m\) . Từ đó:

- Nếu m <0  thì bất phương trình (*) vô nghiệm, suy ra hệ cũng vô nghiệm.

- Nếu \(m\ge0\) thì (*)\(\Leftrightarrow\)  \(1-\sqrt{m}\le x\le1+\sqrt{m}\) .   Hệ sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi đoạn [-9;-1] có giao bằng rỗng với tập nghiệm của (*), tức là khi

\(\left[{}\begin{matrix}-1< 1-\sqrt{m}\\1+\sqrt{m}< -9\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{m}< 2\Leftrightarrow0\le m< 4\) 

    Như vậy, hệ bất phương trình đã cho sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi   \(m< 4\). Hệ sẽ có nghiệm khi và chỉ khi \(m\ge4\)

 

Câu 22.

Giải hệ bất phương trình \(\left\{\begin{matrix}x^2+5x+4< 0\\x^3+3x^2-9x-10>0\end{matrix}\right.\) .

  1. \(\left(-4;-1\right)\)
  2. \(\left(-3;-1\right)\)
  3. \(\left(-2;-1\right)\)
  4. \(\left(-1;1\right)\)

Hướng dẫn giải:

Cách 1:Bất phương trình thứ nhất có tập nghiệm là khoảng \(\left(-4;-1\right)\). Tập nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là tập con của khoảng này mà trên đó hàm số \(f\left(x\right)=x^3+3x^2-9x-10\) nhận giá trị dương. Xét dãy số -3,5 ; -3; -2,5;...; -0,5 (số hạng đầu là -3,5; số hạng cuối là -0,5, bước nhảy 0,5). Tính giá trị \(f\left(x\right)\) tại các điểm này bằng MTCT  (MODE 7: TABL) ta được dãy các giá trị tương ứng là 15,375; 17; 15,625; 12; 6,875; 1; -4,875. Để ý dấu các giá trị này ta thấy các số hạng trong dãy trên - trừ ra số hạng cuối cùng đều là nghiệm của hệ. Như vậy các đáp số \(\left(-3;-1\right)\) , \(\left(-2;-1\right)\), \(\left(-1;1\right)\) đều thiếu nghiệm -3,5 nên đều là các đáp số sai. Đáp số đúng phải là   \(\left(-4;-1\right)\).

Cách 2: ​Bất phương trình thứ nhất có tập nghiệm là \(N_1=\left(-4;-1\right)\). Đặt \(f\left(x\right)=x^3+3x^2-9x-10\) thì bất phương trình thứ hai có dạng \(f\left(x\right)>0\). Sử dụng MTCT ta tìm được 3 nghiệm của phương trình \(f\left(x\right)=0\) viết theo thứ tự tăng là \(x_1=-4,505039725\), \(x_2=-0,9166183574\),  \(x_3=2,421658082\). Tập nghiệm của bất phương trình thứ hai là \(N_2=\left(x_1;x_2\right)\cup\left(x_3;+\infty\right)\). Mà  \(x_1< -4< -1< x_2\) nên khoảng \(\left(x_1;x_2\right)\) chứa hết \(N_1\), do đó hệ có tập nghiệm \(N=N_1\cap N_2=N_1=\left(-4;-1\right)\).

Đáp số: \(\left(-4;-1\right)\)

Câu 23.

Tìm các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình \(\left\{\begin{matrix}x^2-3x+2\le0\\x^2-6x+m\left(6-m\right)\ge0\end{matrix}\right.\) có nghiệm duy nhất.

  1. m = 1 hay m = 5
  2. m = -1 hay m = - 5
  3. m = 2 hay m = 4
  4. m = -2 hay m = -4

Hướng dẫn giải:

 

 

Bất phương trình thứ nhất có tập nghiệm \(N_1=[1;2]\). Tam thức bậc hai \(f\left(x\right)=x^2-6x+m\left(6-m\right)\) ở vế trái bất phương trình thứ hai có hai nghiệm là \(m\) và \(6-m\) (theo Viet).

1) Nếu \(m=6-m\)  thì bất phương trình thứ hai có tập nghiệm là \(N_2=\left(-\infty;+\infty\right)\) nên tập nghiệm của hệ đã cholà \(N=N_1\cap N_2=[1;2]\). Hệ có vô số nghiệm (Loại)

2) Nếu \(m\ne6-m\) thì \(N_2=\)(\(-\infty;x_1]\cup[x_2;+\infty\)), trong đó \(x_1,x_2\) là hai nghiệm phân biệt của \(f\left(x\right)\). Vì vậy nếu hệ đã cho sẽ có nghiệm duy nhất chỉ khi  \(x_1=1< 2=x_2\) (nghiệm duy nhất của hệ là \(x=1\)) hoặc \(x_1< 1< 2=x_2\) (nghiệm duy nhất của hệ là \(x=2\)). Từ đó phải có \(f\left(1\right)=0\) hoặc \(f\left(2\right)=0\), tức là

                                 \(\left[{}\begin{matrix}-5+6m-m^2\\-8+6m-m^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1;m=5\\m=2;m=4\end{matrix}\right.\)

Thử lại: Khi \(m=1\)hoặc \(m=5\) thì \(f\left(x\right)\) có 2 nghiệm là 1 và 5 nên \(N_2=\)(\(-\infty;1]\cup[5;+\infty\)), do đó \(N=\left\{1\right\}\), hệ có nghiệm duy nhất \(x=1\)

   Khi \(m=2\) hoặc \(m=4\) thì \(f\left(x\right)\) có hai nghiệm là 2 và 4 nên \(N_2=\) (\(-\infty;2]\cup[4;+\infty\)), do đó \(N=[1;2]\), hệ có vô số nghiệm (Loại).

Đáp số: \(m=1;m=5\).

 


Tính năng này đang được xây dựng...