§1. Bất đẳng thức

Câu hỏi trắc nghiệm

Chủ đề: §1. Bất đẳng thức

Câu 3.

Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều  kiện  \(ax+by-\sqrt{xy}\ge0\) đúng \(\forall x,y>0\) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

  1. \(ab>\dfrac{1}{5}\)
  2. \(ab>0\)
  3. \(\left\{{}\begin{matrix}a>0,b>0\\ab\ge\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
  4. \(ab\ge\dfrac{1}{4}\)

Hướng dẫn giải:

Với \(a=b=-\dfrac{1}{2}\) thì \(ab=\dfrac{1}{4}\) ( như vậy  \(ab\ge\dfrac{1}{4}>\dfrac{1}{5}>0\) ) tuy nhiên       

                \(ax+by-\sqrt{xy}=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}y-\sqrt{xy}=-\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2< 0\)\(\forall x,y>0\)

Như vậy tất cả 3 khẳng định khác với khẳng định "\(\left\{{}\begin{matrix}a>0,b>0\\ab\ge\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)" đều sai. Do đó chỉ có khẳng định "\(\left\{{}\begin{matrix}a>0,b>0\\ab\ge\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)" đúng.

Chú ý: Có thể kiểm tra tính đúng của khẳng định trên như sau (học sinh không cần làm trong phòng thi):

Theo giả thiết, có  \(ax+by-\sqrt{xy}\ge0\) đúng với mọi \(x,y>0\). Chia hai vế cho \(y>0\) và đặt \(t=\sqrt{\dfrac{x}{y}}\) thì điều kiện đã cho trở thành  \(at^2-t+b\ge0,\forall t>0\) (*).

- Nếu \(a=0\) thì (*) \(\Leftrightarrow\) \(t\le b,\forall t>0\), vô lý.

- Nếu \(a\ne0\) thì đồ thị hàm số \(Y=f\left(t\right)=at^2-t+b\) là một parabon với đỉnh \(D\left(-\dfrac{1}{2a};\dfrac{4ab-1}{4a}\right)\), cắt trục tung tại \(M\left(0;b\right)\).

(*) sẽ đúng với mọi \(t>0\) trong hai trường hợp:

   1)  parabon nằm hoàn toàn phía trên trục hoành   (parabol quay bề lõm lên trên và không cắt trục hoành - hình (I); hoặc tiếp xúc với trục hoành và quay bề lõm lên trên (hình (II)):

                                               \(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\ab\ge\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0,b>0\\ab\ge\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

    2)  parabol quay bề lõm lên trên, cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt ở bên trái trục tung - hình (III)):

                                       \(\) \(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta>0\\x_1+x_2=\dfrac{1}{a}< 0\\x_1x_2=\dfrac{b}{a}>0\end{matrix}\right.\)  -  không xảy ra

  Vậy khẳng định đúng là " \(\left\{{}\begin{matrix}a>0,b>0\\ab\ge\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)".

 

Câu 6.

Bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức sau đây sai?

  1. \(a^2-ab+b^2\ge ab\left(\forall ab\right)\)
  2. \(b\left(a-b\right)\le a\left(a-b\right)\left(\forall ab\right)\)
  3. \(4ab\left(a-b\right)^2\le\left(a^2-b^2\right)^2\forall a,b\)
  4. \(a^3+2\le a^2+2\sqrt{a}\forall a\ge0\)

Hướng dẫn giải:

Dễ thấy 3 trong 4 bất đẳng thức nêu trong đề bài có thể kiểm tra ngay, cụ thể:

   1) \(a^2-ab+b^2-ab=\left(a-b\right)^2\ge0\)  suy ra \(a^2-ab+b^2\ge ab,\forall a,b\).

   2) \(b\left(a-b\right)-a\left(a-b\right)=\left(a-b\right)\left(b-a\right)=-\left(a-b\right)^2\le0\) , suy ra \(4ab\left(a-b\right)^2\le\left(a^2-b^2\right)\forall a,b\)

   3) \(4ab\left(a-b\right)^2-\left(a^2-b^2\right)^2=\left(a-b\right)^2\left(4ab-\left(a+b\right)^2\right)=\left(a-b\right)^2\left(-\left(a-b\right)^2\right)=-\left(a-b\right)^4\le0\), suy ra 

   \(4ab\left(a-b\right)^2\le\left(a^2-b^2\right)^2\forall a,b\).

Từ đó, bất đẳng thức còn lại phải sai. Đáp số: \(a^3+2\le a^2+2\sqrt{a}\forall a\ge0\) (*) 

Chú ý: có thể chứng minh (*) sai như sau (học sinh không cần phải chứng minh như thế):

\(\left(a^3+2\right)-\left(a^2+2\sqrt{a}\right)=a^3-a^2+a-2\sqrt{a}+1-a+1\)\(=a^2\left(a-1\right)+\left(\sqrt{a}-1\right)^2-\left(a-1\right)\)

\(=\left(a-1\right)\left(a^2-1\right)+\left(\sqrt{a}-1\right)^2=\left(a-1\right)^2\left(a+1\right)+\left(\sqrt{a}-1\right)^2\ge0\) (do giả thiết \(a\ge0\)).

Suy ra   \(\left(a^3+2\right)-\left(a^2+2\sqrt{a}\right)\ge0\Rightarrow a^3+2\ge a^2+2\sqrt{a}\)  v​ới mọi \(a\ge0\), từ đó bất đẳng thức 

                                    \(a^3+2\le a^2+2\sqrt{a},\forall a\ge0\)   là bất đẳng thức sai,

 

Câu 7.

Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào sai ?

  1. \(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\)
  2. \(\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}>2\sqrt[3]{3}\)
  3. \(ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\le2\left(a^3+b^3+c^3\right)\) với \(a,b,c\ge0\)
  4. \(3\left(1+a^2+a^4\right)\ge\left(1+a+a^2\right)^2\)

Hướng dẫn giải

Trong 4 bất đẳng thức trên có 3 bất đẳng thức với biến, chỉ có một bất đẳng thức số. Có thể dùng máy tính cầm tay để kiểm tra tính đúng đắn của nó một cách dễ dàng. Sử dụng MTCT ta tính được \(\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}-2\sqrt[3]{3}\approx-0,08140820129< 0\) suy ra  \(\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}< 2\sqrt[3]{3}\)  do đó bất đẳng thức  \(\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}>2\sqrt[3]{3}\)  sai.

Chú ý:

1) Có thể không sử dụng MTCT chứng minh được \(\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}< 2\sqrt[3]{3}\) như sau (trong phòng thi các em học sinh không cần mất thời gian để làm như vậy):

Đặt  \(a=\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}\) và  \(b=\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}\)   thì   \(a^3+b^3=6\).  Cần kiểm tra  \(a+b< 2\sqrt[3]{3}\)  hay \(\left(a+b\right)^3< 24=4.6\), hay

\(\left(a+b\right)^3< 4\left(a^3+b^3\right)\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3< 4\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\) \(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2< 4\left(a^2-ab+b^2\right)\) (do \(a,b>0\) )

\(\Leftrightarrow0< 3\left(a^2-2ab+b^2\right)=3\left(a-b\right)^2\) (đúng do \(a\ne b\)).

2) Cũng có thể chứng minh cả ba bất đẳng thức chứa biến còn lại đều đúng và suy ra bất đẳng thức số nói trong đề bài là sai (tuy nhiên học sinh cũng không ohair và không nên làm như vậy):

  + \(\left(ab+bc+ca\right)^2-3abc\left(a+b+c\right)=\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2-abc\left(a+b+c\right)\)

                                                                 \(=\dfrac{1}{2}[\left(ab-bc\right)^2+\left(bc-ca\right)^2+\left(ca-ab\right)^2]\ge0\)

Suy ra   \(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\) đúng.

  + \(ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)-2\left(a^3+b^3+c^3\right)=\)

     \(=\)\(\left(a^2b-a^3\right)+\left(ab^2-b^3\right)+\left(b^2c-b^3\right)+\left(bc^2-c^3\right)+\left(c^2a-c^3\right)+\left(ca^2-a^3\right)\)

      \(=a^2\left(b-a\right)+b^2\left(a-b\right)+b^2\left(c-b\right)+c^2\left(a-c\right)+c^2\left(a-c\right)+a^2\left(c-a\right)\)

      \(=\left(a-b\right)\left(b^2-a^2\right)+\left(b-c\right)\left(c^2-b^2\right)+\left(c-a\right)\left(a^2-c^2\right)\)

      \(=-\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)-\left(b-c\right)^2\left(b+c\right)-\left(c-a\right)^2\left(c+a\right)\le0\)  (do giả thiết \(a,b,c\ge0\)). Suy ra 

                      \(ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\le2\left(a^3+b^3+c^3\right)\)  nếu \(a,b,c\ge0\).

     + Áp dụng bất đẳng thức Svac cho 3 số ta có    \(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)với \(x=1,y=a,z=a^2\) ta có   \(3\left(1+a^2+a^4\right)\ge\left(1+a+a^2\right)^2\).

 

 

Câu 8.

Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai ?

  1. \(ab\left(a+b\right)\le a^3+b^3;\left(a+b>0\right)\)
  2. \(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
  3. \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\le a+b+c;\left(a,b,c>0\right)\)
  4. \(\left(a+b\right)\left(ab+1\right)\ge4ab\left(a,b\ge0\right)\)

Hướng dẫn giải:

​Ta có \(x^2+y^2+z^2=\dfrac{x^2+y^2}{2}+\dfrac{y^2+z^2}{2}+\dfrac{z^2+x^2}{2}\) \(\ge xy+yz+zx,\forall x,y,z\).

Do đó     \(\forall a,b,c>0\) có \(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}=\left(\sqrt{\dfrac{ab}{c}}\right)^2+\left(\sqrt{\dfrac{bc}{a}}\right)^2+\left(\sqrt{\dfrac{ca}{b}}\right)^2\)\(\ge b+c+a\) . Vì vậy 

khẳng định " \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\le a+b+c;\left(a,b,c>0\right)\) " nói chung không đúng, chẳng hạn với \(a=1,b=2,c=3\) thì \(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}=\dfrac{49}{6}=8\dfrac{1}{6}\) \(>\left(a+b+c\right)=6\).

Vậy \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\le a+b+c;\left(a,b,c>0\right)\) "  là khẳng định sai.

Có thể kiểm tra (nhưng học sinh không phải làm điều này) rằng các khẳng định còn lại đều đúng:

  + \(\left(a^3+b^3\right)-ab\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2-ab\right)=\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\) do giả thiết \(a+b>0\).

  + \(\left(a^4+b^4\right)-\left(a^3b+ab^3\right)=\left(a^4-a^3b\right)+\left(b^4-ab^3\right)=\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)=\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)

với mọi \(a,b\) .

  + Với mọi  \(a,b\)  không âm  luôn có  \(\left(a+b\right)\left(ab+1\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{ab.1}=4ab\). Do đó 

                                        \(\left(a+b\right)\left(ab+1\right)\ge4ab\left(\forall a,b\ge0\right)\)

 

Click để xem thêm, còn nhiều lắm!

Tính năng này đang được xây dựng...