§1. Bất đẳng thức

Trong 4 bất đẳng thức sau , bất đẳng thức nào sai?

1. \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\) \(,\forall a,b\).
2. \(a^2+b^2+4\ge ab+2a+2b\) \(,\forall a,b\).
3. \(\dfrac{a^2}{4}+b^2+c^2\ge ab-ac+2bc\)\(,\forall a,b,c\).
4. \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}\) \(,\forall a>0,b>0\).

Tìm GTNN của biểu thức \(A=x^8+y^8\) khi \(x,y\) thay đổi nhưng luôn có tổng bằng 1.

1. \(\dfrac{1}{4}\).
2. \(\dfrac{1}{16}\).
3. \(\dfrac{1}{64}\).
4. \(\dfrac{1}{128}\)

Bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức sau đây sai?

1. \(a^2-ab+b^2\ge ab\left(\forall ab\right)\).
2. \(b\left(a-b\right)\le a\left(a-b\right)\left(\forall ab\right)\).
3. \(4ab\left(a-b\right)^2\le\left(a^2-b^2\right)^2\forall a,b\).
4. \(a^3+2\le a^2+2\sqrt{a}\forall a\ge0\).

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=\dfrac{4y^2-4x^2+6xy}{x^2+y^2}\) khi x, y thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện \(x^2+y^2\ne0\).

Giá trị lớn nhất của biểu thức A là :

1. 3.
2. 4.
3. 5.
4. 6.

Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai ?

1. \(ab\left(a+b\right)\le a^3+b^3;\left(a+b>0\right)\).
2. \(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\).
3. \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\le a+b+c;\left(a,b,c>0\right)\).
4. \(\left(a+b\right)\left(ab+1\right)\ge4ab\left(a,b\ge0\right)\).

Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều  kiện  \(ax+by-\sqrt{xy}\ge0\) đúng \(\forall x,y>0\) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

1. \(ab>\dfrac{1}{5}\)
2. \(ab>0\)
3. \(\left\{{}\begin{matrix}a>0,b>0\\ab\ge\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
4. \(ab\ge\dfrac{1}{4}\)

Cho a, b, c là các số dương thay đổi luôn có \(a+b+c=1\)

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\) 

1. 4.
2. 16.
3. 32.
4. 64.

Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào sai ?

1. \(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\).
2. \(\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}>2\sqrt[3]{3}\).
3. \(ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\le2\left(a^3+b^3+c^3\right)\) với \(a,b,c\ge0\).
4. \(3\left(1+a^2+a^4\right)\ge\left(1+a+a^2\right)^2\).

Cho ba số dương a, b, c thay đổi luôn có tổng bằng 1. Khẳng định nào trong các khẳng định sau đây đúng? 

1. \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge64abc\).
2. \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge32abc\).
3. \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge16abc\).
4. \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge8abc\).

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

1. \(\dfrac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge2,\forall a\).
2. \(a^2\left(1+b^4\right)+b^2\left(1+a^4\right)\ge\left(1+a^4\right)\left(1+b^4\right)\) , \(\forall a,b\).
3. \(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\), \(\forall a,b,c\).
4. \(\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\) \(,\forall a,b,c,d\ge0\).

Cho \(x,y\) là hai số thực thay đổi luôn thỏa mãn \(2x+3y=7\) . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=2x^2+3y^2\).

1. \(\dfrac{43}{5}\).
2. \(\dfrac{46}{5}\).
3. \(\dfrac{49}{5}\).
4. \(\dfrac{51}{5}\).

Nếu \(a>b>0\) và \(c>d>0\) thì bất đẳng thức nào sau đây sai?

1. \(ac>bc\).
2. \(a-c>b-d\).
3. \(a^2>b^2\).
4. \(ac>bd\).

Nếu \(a>b>0,c>d>0\) thì bất đẳng thức nào sau đây không đúng?

1. \(a+c>b+d\).
2. \(ac>bd\).
3. \(\dfrac{a}{c}>\dfrac{b}{d}\).
4. \(\dfrac{a}{b}>\dfrac{d}{c}\).

Nếu \(2a>2b\) và \(-3b< -3c\) thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

1. \(a< c\) .
2. \(a>c\).
3. \(-3a>-3c\).
4. \(a^2>c^2\).

Nếu \(a+2c>b+2c\) thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

1. \(-3a>-3b\).
2. \(a^2>b^2\).
3. \(2a>2b\).
4. \(\dfrac{1}{a}< \dfrac{1}{b}\).

Cho hai số thực a, b sao cho \(a>b\). Bất đẳng thức nào sau đây không đúng?

1. \(a^4>b^4\).
2. \(-2a+1< -2b+1\).
3. \(b-a< 0\).
4. \(a-2>b-2\).

Nếu \(0< a< 1\) thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

1. \(\dfrac{1}{a}>\sqrt{a}\).
2. \(a>\dfrac{1}{a}\).
3. \(a>\sqrt{a}\).
4. \(a^3>a^2\).

Nếu \(a+b< a\) và \(b-a>b\) thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

1. \(ab>0\).
2. \(b< a\).
3. \(a< b< 0\).
4. \(a>0\) và \(b< 0\).

Cho 4 số thực \(a,b,c,d\) trong đó \(ac\ne0\). Nghiệm của phương trình \(ax+b=0\) nhỏ hơn nghiệm của phương trình \(cx+d=0\) khi và chỉ khi 

1. \(\dfrac{b}{a}< \dfrac{c}{d}\).
2. ​ ​\(\dfrac{b}{a}>\dfrac{c}{d}\).
3. \(\dfrac{b}{d}>\dfrac{a}{c}\).
4. \(\dfrac{b}{a}>\dfrac{d}{c}\).

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác. Mệnh đề nào sau đây không đúng?

1. \(a^2< ab+ac\).
2. \(ab+bc>b^2\).
3. \(b^2+c^2< a^2+2bc\).
4. \(b^2+c^2>a^2+2bc\).

Sắp xếp ba số  \(a=\sqrt{6}+\sqrt{13};b=\sqrt{19};c=\sqrt{3}+\sqrt{16}\) theo thứ tự từ bé đến lớn.

1. b, c, a.
2. c, b, a.
3. b, a, c.
4. a, c, b.

Tìm số nhỏ nhất và số lớn nhất trong 4 số sau đây:  \(a=3+\sqrt{2},b=\sqrt{15},c=2+\sqrt{3},d=4\).

1. số nhỏ nhất là b, số lớn nhất là c.
2. số nhỏ nhất là c, số lớn nhất là d.
3. số nhỏ nhất là b, số lớn nhất là a.
4. số nhỏ nhất là c, số lớn nhất là a.

Xét hàm số \(f\left(x\right)=x-x^2\). Kết luận nào sau dây đúng?​

1. Hàm số có GTNN = 0,25.
2. Hàm số có GTLN = 0,5.
3. Hàm số có GTNN = - 0,25.
4. Hàm số có GTLN = 0,25.

Cho hàm số  \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

1. GTNN = 0, GTLN =1.
2. Không có GTNN; GTLN =1.
3. GTNN = 1, GTLN =2.
4. Không có GTNN, GTLN.

Với giá trị nào của a thì hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\x-y=2a-1\end{matrix}\right.\) có nghiệm (x,y) với \(xy\) lớn nhất?

1. \(a=\dfrac{1}{4}\).
2. \(a=\dfrac{1}{2}\).
3. \(a=-\dfrac{1}{2}\).
4. \(a=1\).

Cho hai số a, b có tổng bằng 3. Khi đó tích ab

1. Có GTNN là \(\dfrac{9}{4}\).
2. Có GTLN là \(\dfrac{9}{4}\).
3. Có GTLN là \(\dfrac{3}{2}\).
4. Không có GTLN.

Cho \(x\) là một số lớn hơn 2. Trong các số \(\dfrac{2}{x},\dfrac{2}{x+1},\dfrac{2}{x-1},\dfrac{x+1}{2},\dfrac{x}{2}\), số nào nhỏ nhất?

1. \(\dfrac{2}{x}\).
2. \(\dfrac{2}{x+1}\).
3. \(\dfrac{2}{x-1}\).
4. \(\dfrac{x}{2}\).

Biểu thức  \(f\left(x\right)=x^2+3x\) có GTNN là

1. \(-\dfrac{3}{2}\).
2. \(-\dfrac{9}{4}\).
3. \(-\dfrac{27}{4}\).
4. \(-\dfrac{81}{8}\).

Biểu thức  \(f\left(x\right)=x^2+3\left|x\right|\) có GTNN là

1. \(-\dfrac{3}{2}\).
2. \(-\dfrac{9}{4}\).
3.  0.
4. \(-\dfrac{3}{2}\).

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(x^2-6\left|x\right|\) là

1. -9.
2. - 6.
3.  0.
4.  3.