Tìm các số x,y nguyên tố sao cho \(x^2+3xy+y^2\)là một số chính phương
Tìm các số x,y nguyên tố sao cho \(x^2+3xy+y^2\)là một số chính phương
k^2 =x^2 +3xy +y^2
k^2 =(x+y)^2 +xy
k^2 -(x+y)^2 =xy
[k -(x+y)][k+(x+y)] =xy
x; y nguyen to
[k -(x+y)] =x
[k+(x+y)] =y
2k =x+y => x; y cùng tính chẵn lẻ
(x;y)=(2;2) <=> k^2 =4+3.2.2+4 =4.4 =16=> nhận (x;y) =(2;2)
x;y > 2 => x; y cùng lẻ => k lẻ
x^2 =3m +1
y^2 =3n +1
k^2 = 3t +2 ; theo t/c số chính phương không có số cp lẻ có dạng 3t +2
=> (x;y) =(2;2) là duy nhất
Cho các số dương a, b, c chứng minh rằng:
\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\)
Lời giải:
Ta có: \(\text{VT}=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}=\frac{a^2}{b}-a+b+\frac{b^2}{c}-b+c+\frac{c^2}{a}-c+a\)
\(=\frac{a^2-ab+b^2}{b}+\frac{b^2-bc+c^2}{c}+\frac{c^2-ca+a^2}{a}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{a^2-ab+b^2}{b}+b\geq 2\sqrt{a^2-ab+b^2}\)
\(\frac{b^2-bc+c^2}{c}+c\geq 2\sqrt{b^2-bc+c^2}\)
\(\frac{c^2-ca+a^2}{a}+a\geq 2\sqrt{c^2-ca+a^2}\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow \text{VT}+(a+b+c)\geq 2(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2})(1)\)
Lại có:
\(\sqrt{a^2-ab+b^2}=\sqrt{\frac{3}{4}(a-b)^2+\frac{1}{4}(a+b)^2}\geq \sqrt{\frac{1}{4}(a+b)^2}=\frac{a+b}{2}\)
TT: \(\sqrt{b^2-bc+c^2}\geq \frac{b+c}{2}; \sqrt{c^2-ca+a^2}\geq \frac{c+a}{2}\)
Suy ra: \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\geq a+b+c(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \text{VT}\geq \sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)
cm pt (m\(^2\) -m+1)x^8+3mx^2-3x-2=0 có ít nhất 2 nghiệm trái dấu
Lời giải:
Xét hàm số \(f(x)=(m^2-m+1)x^8+3mx^2-3x-2\)
Vì đây hàm số sơ cấp xác định tại \(x\in\mathbb{R}\) nên hàm liên tục trên miền \(\mathbb{R}\)
Ta có:
\(f(0)=-2<0\)
\(f(-1)=m^2-m+1+3m+3-2=m^2+2m+2=(m+1)^2+1>0\)
\(f(2)=256(m^2-m+1)+12m-8=256m^2-244m+248\)
\(f(2)=(16m-\frac{61}{8})^2+\frac{12151}{64}>0\)
Do đó: \(\left\{\begin{matrix} f(0)f(-1)<0\\ f(0)f(2)<0\end{matrix}\right.\)
Suy ra theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục thì phương trình \(f(x)=0\) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \((-1;0)\) và một nghiệm thuộc khoảng \((0;2)\)
Hay PT \(f(x)=0\) có ít nhất hai nghiệm trái dấu.
Cho tam giác ABC có góc A =35 độ . Đường thẳng AH vuông góc với BC tại H. Trên đường vuông góc với BC tại B lấy điểm D không cùng nửa mặt phẳng bờ BC với điểm A sao cho AH = BD.
a) Chứng minh ΔAHB = ΔDBH.
b) Chứng minh AB//HD.
c) Gọi O là giao điểm của AD và BC. Chứng minh O là trung điểm của BH.
d) Tính góc ACB , biết góc BDH= 35 độ .
a) Xét \(\Delta\)AHB vuông tại B và \(\Delta\)DBH vuông tại H có:
AH = DB (gt)
BH cạnh chung
=> \(\Delta\)AHB = \(\Delta\)DBH (cgv - cgv)
b) Vì \(\Delta\)AHB = \(\Delta\)DBH (câu a)
=> \(\widehat{ABH}\) = \(\widehat{DHB}\)(2 góc t/ư)
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
=> AB // HD.
c) Do \(\Delta\)AHB = \(\Delta\)DBH (câu a)
=> AB = DH (2 cạnh t/ư)
Ta có: \(\widehat{ABH}\) = \(\widehat{DHB}\) (câu b)
hay \(\widehat{ABO}\) = \(\widehat{DHO}\)
Vì AB // HD nên \(\widehat{BAO}\) = \(\widehat{HDO}\) (so le trong)
Xét \(\Delta\)ABO và \(\Delta\)DHO có:
\(\widehat{BAO}\) = \(\widehat{HDO}\) (c/m trên)
AB = DH (c/m trên)
\(\widehat{ABO}\) = \(\widehat{DHO}\) (c/m trên)
=> \(\Delta\)ABO = \(\Delta\)DHO (g.c.g)
=> BO =NHO (2 cạnh t/ư)
Do đó O là tđ của BH.
Sao làm thiếu câu d mà vẫn dc tích nhỉ :|
Cho tam giác ABC có đỉnh B(-1;3), trung tuyến AM có phương trình 3x+2y-9=0: trung tuyến CN: x-1=0
a) Viết pt tổng quát đường trung tuyến BE
b) Tìm tọa độ các đỉnh AC
Lời giải:
Gọi giao điểm của $AM$ và $CN$ là $I$
Khi đó $BI$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$ theo tính chất ba đường trung tuyến đồng quy tại một điểm. Theo đó phương trình trung tuyến $BE$ cũng trùng với $BI$
Giao điểm $I$ có tọa độ là nghiệm của HPT:
\(\left\{\begin{matrix} 3x+2y-9=0\\ x-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x+2y-9=0\\ x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3+2y-9=0\\ x=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=3\\ x=1\end{matrix}\right.\)
Vậy $I(1;3)$
Gọi pt đường thẳng $BI$ là $y=ax+b$
Ta có: \(B(-1;3); I(1;3)\in BI\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3=a+b\\ 3=-a+b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=0\\ b=3\end{matrix}\right.\)
Vậy PT đường trung tuyến là: \(y=3\Leftrightarrow y-3=0\)
b)
Vì \(A\in AM\Rightarrow A(a, \frac{9-3a}{2})\)
Vì \(C\in CN\Rightarrow C(1; c)\)
$I(1;3)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên:
\(\left\{\begin{matrix} \frac{x_A+x_B+x_C}{3}=x_I\\ \frac{y_A+y_B+y_C}{3}=y_I\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{a+(-1)+1}{3}=1\\ \frac{\frac{9-3a}{2}+3+c}{3}=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=3\\ \frac{\frac{9-3a}{2}+3+c}{3}=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=3\\ \frac{c+3}{3}=3\end{matrix}\right.\Rightarrow a=3; c=6\)
Vậy tọa độ A là: \((3; 0)\), tọa độ C là \((1;6)\)
Os. Htt mình chỉ bảo cho bạn cách lập luận có suy luận
(không lên chỉ biết dựa thụ động vào lý thuyết )
G trọng tâm =>giao CN và AM G(1;3)
BE qua G ; tung độ B và G giống nhau
=> BE//ox qua G => pttq BE ; y-3 =0
Tìm a ;b;c \(\in\) Z+ tm :
a2 +3a2 + 5 = 5b
a+b = 5c
Sửa đề:
a3 +3a2 +5 = 5b
a+c = 5c
giải
Do a \(\in Z^+\) => 5b = 3a2 + 5 > a +3 = 5c
=> 5b > 5c => b > c
=> 5b chia hết cho 5c
=> ( a3 +3a2+5) chia hết cho a+3
=> a2 ( a+3) +5 chia hết cho a +3
Mà a2 (a+3) chia hết cho a+3
=> 5 chia hết cho a+3
=> a+3 thuộc Ư(5)
\(\Rightarrow a+3\in\left\{\pm1;\pm5\right\}\)(1)
Do \(a\in Z^+\Rightarrow a+3\ge4\) (2)
Từ (1) và (2)
=> a +3 = 5 => a = 2
=> 23 +3.22 +5 = 52
=> 5b =52
=> b = 2
và: 2 + 3 = 5
=> 5c = 5
=> c = 1
Vậy a=2; b=2 và c=1
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường phân giác BE , Kẻ EH vuông góc với BC ( H thuộc BC ) , gọi K là giao điểm của AB và HE , chứng minh rằng :
a , Tam giác ABE = tam giác HBE
b , BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH
c , EK = EC
d , AE < EC
e , BE vuông góc với KC
f , Cho AB = 3cm , BC = 5cm . Tính Kc
Xét ΔABE và ΔHBE có:
\(\widehat{BAE}=\widehat{BHE}=90\) (gt)
BE:cạnh chung
\(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\left(gt\right)\)
=> ΔABE =ΔHBE(cạnh huyền-góc nhọn)
b) Vì ΔABE=ΔHBE(cmt)
=> AB=BH ; AE=EH
=> B,E \(\in\) đường trung trực của đoạn thẳng AH
=>BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH
c) Xét ΔAEK và ΔHEC có:
\(\widehat{KAE}=\widehat{CHE}=90\left(gt\right)\)
AE=EH(cmt)
\(\widehat{AEK}=\widehat{HEC}\)
=>ΔAEK=ΔHEC(g.c.g)
=>EK=EC
d) Xét ΔEHC vuông tại H(gt)
=> HE<EC
Mà: HE=AE(cmt)
=>AE<EC
d) Xét ΔHKC có:
KH,CA là hai đường cao
=> E là trực tâm của ΔBKC
=>BE là đường cao
=> AE vuông góc KC
a)
xét 2 tam giác vuông ABE và HBE có:
BE(chung)
góc ABE= góc CBE(gt)
=> ΔABE=ΔHBE(CH-GN)
b)
gọi giao của BE và AH là F
xét ΔABF và ΔHBF có:
AB=HB(theo câu a, ΔABE=ΔHBE)
BF(chung)
góc ABE=góc HBE(gt)
=> ΔABF=ΔHBF(c.g.c)
=>\(\begin{cases}FA=FH\\\widehat{AFB}=\widehat{BFH}=180^o:2=90^o\end{cases}\)
=> BE là đường trung trực của AH
c)
xét ΔAEK và ΔHEC có:
EA=EH(theo câu a, ΔABE=ΔHBE)
góc KAE=góc EHC=90º(gt)
góc AEK=góc CEH(2 góc đối đỉnh)
=>ΔAEK=ΔHEC(g.c.g)
=>EK=EC
d)
ta có ΔAEK vuông tại A
=> EK>AE
mà EK=EC(theo câu c)
=> AE<EC
e)
theo câu a, ta có: ΔABE=ΔHBE(CH-GN)
=>AB=HB
theo câu c, ta có: ΔAEK=ΔHEC(g.c.g)
=> AK=HC
ta có: KB=KA+AB
CB=CH+HB
=>KB=CB
=>ΔKBC cân tại B
ta có:ΔKCB cân tại B có BE là đường phân giác
=>BE đồng thời là đường cao của ΔKBC
=>BE_|_KC
f)
áp dụng định lí py-ta-go ta có;
\(AC^2=BC^2-AB^2=5^2-3^2=25-9=16\)
\(AC=\sqrt{16}=4\left(cm\right)\)
theo câu e; ta có ΔKBC cân tại B
=> BC=BK=5cm
AK=BC-AB=5cm-3cm=2cm
áp dụng định lí py-ta-go ta có:
\(KC^2=AK^2+AC^2=4^2+2^2=16+4=20\)
\(KC=\sqrt{20}\left(cm\right)\)
Cho m khác -1 và a^3-3a^2+3a(m+1)-(m+1)^2 =0 . tìm gtnn của a
(m+1)=x;x^2+3ax+a^3-3a^2=0. x khác 0=>a^3 -3a^2 khác 0 a khác 0; 3 ; delta (x) >=0 <=>9a^2-4(a^3-3a^2)>=0;21a^2-4a^3>=0;a^2 ( 21-4a)>=0<=>a>=21/4;;;GTNN a=21/4
Giải các phương trình sau:
a) \(\left(x-\sqrt{2}\right)^3+\left(x+\sqrt{3}\right)^3+\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}-2x\right)^3=0\)
b) \(x^4=8x+7\)
c) \(x^3-x^2-x=\dfrac{1}{3}\)
câu (a) biến đổi HĐT số 5 (a+b+c=0)
câu b
x^4 =8x+7
\(x^4+2x^2+1=2x^2+8x+8\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)^2=2\left(x+2\right)^2\)\(\Leftrightarrow\left|x^2+1\right|=\sqrt{2}\left|x+2\right|\)
\(\Leftrightarrow x^2+1=\sqrt{2}x+2\sqrt{2}\Leftrightarrow x^2-\sqrt{2}x-2\sqrt{2}+1=0\)
\(\Delta_x=2-4\left(-2\sqrt{2}+1\right)=8\sqrt{2}-2\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{2}\pm\sqrt{8\sqrt{2}-2}}{2}\)
a/ Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x-\sqrt{2}=a\\x+\sqrt{3}=b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^3+b^3-\left(a+b\right)^3=0\)
\(\Leftrightarrow3ab\left(a+b\right)=0\)
b/ Lấy bài của bạn ở trên
c/ \(x^3-x^2-x=\dfrac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow3x^3-3x^2-3x=1\)
\(\Leftrightarrow4x^3=x^3+3x^2+3x+1\)
\(\Leftrightarrow4x^3=\left(x+1\right)^3\)
Giải các phương trình sau: P/s: các bạn giải được bài nào thì trình bày rõ ràng nhé!
a) \(\left(x+2\right)^4+\left(x+4\right)^4=82\)
b) \(x^5+x^2+2x+2=0\)
c) \(\left(x^2-6x-9\right)=x\left(x^2-4x-9\right)\)
d) \(x^3-3x^2+9x-9=0\)
e) \(\left(x+2\right)^2+\left(x+3\right)^3+\left(x+4\right)^4=2\)
a/ \(\left(x+1\right)\left(x+5\right)\left(x^2+6x+19\right)=0\)
b/ \(\left(x+1\right)\left(x^2-2x+2\right)\left(x^2+x+1\right)=0\)
e/ \(\left(x+3\right)\left(x+5\right)\left(x^2+9x+19\right)=0\)
a) \(\left(x+2\right)^4+\left(x+4\right)^4=82\)
x+3=t
<=>\(\left(t-1\right)^4+\left(t+1\right)^4=82\)
<=>\(\left[\left(t-1\right)^2-\left(t+1\right)^2\right]^2=82-2\left(t-1\right)^2\left(t+1\right)^2\)
<=>\(\left[\left\{\left(t-1\right)-\left(t+1\right)\right\}\left\{\left(t-1\right)+\left(t+1\right)\right\}\right]^2=82-2\left(t^2-1\right)^2\)
<=>\(16t^2=82-2\left(t^2-1\right)^2\)
<=>\(\left(t^2-1\right)^2+8t^2-41=0\)
<=>\(\left(t^2-1\right)^2+8\left(t^2-1\right)-33=0\)
\(\Delta_{\left(t^2-1\right)}=16+33=49\)
\(\left[{}\begin{matrix}t^2-1=-4-7\left(l\right)\\t^2-1=-4+7\Leftrightarrow t^2=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t_1=2\\t_2-2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=-5\\x_2=-1\end{matrix}\right.\)
d) Đặt \(y=x+1\)
\(\Rightarrow pt\Leftrightarrow\left(y+1\right)^3-3\left(y+1\right)^2+9\left(y+1\right)-9=0\\ \Leftrightarrow y^3+6y-2=0\left(2\right)\)
Đặt \(y=u+v\), tìm được u và v sao cho \(\left\{{}\begin{matrix}u^3+v^3=2\\u^3v^3=-8\end{matrix}\right.\)
Khi đó \(u^3\) và \(v^3\) là 2 nghiệm của pt: \(X^2-2X-8=0\left(3\right)\)
Giải (3) được \(X_1=4;X_2=-2\)
\(\Rightarrow x=u+v+1=\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1\)