Toán

a: \(2^{x^2-1}=256\)

=>\(2^{x^2-1}=2^8\)

=>\(x^2-1=8\)

=>\(x^2=9\)

=>\(x\in\left\{3;-3\right\}\)

b: \(3^{x^2+3x}=81\)

=>\(3^{x^2+3x}=3^4\)

=>\(x^2+3x=4\)

=>\(x^2+3x-4=0\)

=>(x+4)(x-1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x+4=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-4\\x=1\end{matrix}\right.\)

c: \(2^{x^2-5x}=64\)

=>\(2^{x^2-5x}=2^6\)

=>\(x^2-5x=6\)

=>\(x^2-5x-6=0\)

=>(x-6)(x+1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-6=0\\x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=6\\x=-1\end{matrix}\right.\)

d: \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^x=243\)

=>\(\left(\dfrac{1}{3}\right)^x=3^5=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-5}\)

=>x=-5

e: \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x+5}=3^{2x+1}\)

=>\(3^{-x-5}=3^{2x+1}\)

=>-x-5=2x+1

=>-3x=6

=>x=-2

Do I là trọng tâm \(\Rightarrow\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AI}\) (1)

Đặt \(\overrightarrow{AI}=x.\overrightarrow{AS}\) (2)

Từ giả thiết:

\(AM=2MB\Rightarrow\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\) \(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AM}\) (3)

\(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AC}\Rightarrow\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\) \(\Rightarrow\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AN}\) (4)

\(\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PD}=3\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AD}\Rightarrow\overrightarrow{AP}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\) \(\Rightarrow\overrightarrow{AD}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AP}\) (5)

Thế (2);(3);(4);(5) vào (1):

\(\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{AN}+\dfrac{4}{5}\overrightarrow{AP}=3x.\overrightarrow{AS}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AS}=\dfrac{1}{2x}\overrightarrow{AM}+\dfrac{2}{3x}\overrightarrow{AN}+\dfrac{4}{15x}\overrightarrow{AP}\)

Theo định lý về đồng phẳng, do S, M, N, P đồng thẳng nên:

\(\dfrac{1}{2x}+\dfrac{2}{3x}+\dfrac{4}{15x}=1\) \(\Rightarrow x=\dfrac{43}{30}\)

Ủa có nhầm gì ko mà số xấu ta

Định lý về đồng phẳng đã nói ở đây, phần này rất hay sử dụng trong toán tỉ lệ không gian nên em nhớ là tốt nhất:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Lấy điểm M sao cho \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightar... - Hoc24

a: Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AO là đường trung tuyến

nên AO=OB=OC

=>A nằm trên (O)

Ta có: I là trung điểm của OA

=>OI+IA=OA

=>OI=OA-IA=R-r

=>(O) và (I) tiếp xúc với nhau tại O

 b:

Xét (I) có

ΔAEO nội tiếp

AO là đường kính

Do đó: ΔAEO vuông tại E

=>OE\(\perp\)AC

Xét (O) có

ΔADO nội tiếp

AO là đường kính

Do đó: ΔADO vuông tại D

=>OD\(\perp\)AB

Ta có: OE\(\perp\)AC

AB\(\perp\)AC

Do đó: OE//AB

Ta có: OD\(\perp\)AB

AB\(\perp\)AC

Do đó: OD//AC

Xét ΔCAB có

O là trung điểm của CB

OE//AB

Do đó: E là trung điểm của AC

Xét ΔCAB có

O là trung điểm của CB

OD//AC

Do đó: D là trung điểm của AB

Xét (I) có

ΔAHO nội tiếp

AO là đường kính

Do đó: ΔAHO vuông tại H

=>AH\(\perp\)HO tại H

=>AH\(\perp\)BC tại H

=>ΔAHC vuông tại H

mà E là trung điểm của AC

nên Tâm của đường tròn ngoại tiếp ΔAHC là E, bán kính là EA

c: Xét ΔABC có

D,E lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>DE là đường trung bình của ΔABC

=>DE//BC và \(DE=\dfrac{BC}{2}\)

d: K đối xứng A qua BC

=>BC là trung trực của AK

=>BC\(\perp\)AK tại trung điểm của AK

Ta có: BC\(\perp\)AK

BC\(\perp\)AH 

AK,AH có điểm chung là A

Do đó: K,A,H thẳng hàng

=>BC cắt AK tại H

=>H là trung điểm của AK

Xét ΔCAK có

CH là đường cao

CH là đường trung tuyến

Do đó: ΔCAK cân tại C

Để ΔCAK đều thì \(\widehat{ACK}=60^0\)

=>\(\widehat{ACB}=\dfrac{1}{2}\cdot60^0=30^0\)

a: \(10A=\dfrac{10^{18}+10}{10^{18}+1}=1+\dfrac{9}{10^{18}+1}\)

\(10B=\dfrac{10^{19}+10}{10^{19}+1}=1+\dfrac{9}{10^{19}+1}\)

\(10^{18}+1< 10^{19}+1\)

=>\(\dfrac{9}{10^{18}+1}>\dfrac{9}{10^{19}+1}\)

=>\(\dfrac{9}{10^{18}+1}+1>\dfrac{9}{10^{19}+1}+1\)

=>10A>10B

=>A>B

b: \(\dfrac{1}{10}A=\dfrac{10^{2012}+1}{10^{2012}+10}=1-\dfrac{9}{10^{2012}+10}\)

\(\dfrac{1}{10}B=\dfrac{10^{2011}+1}{10^{2011}+10}=1-\dfrac{9}{10^{2011}+10}\)

\(10^{2012}+10>10^{2011}+10\)

=>\(\dfrac{9}{10^{2012}+10}< \dfrac{9}{10^{2011}+10}\)

=>\(-\dfrac{9}{10^{2012}+10}>-\dfrac{9}{10^{2011}+10}\)

=>\(-\dfrac{9}{10^{2012}+10}+1>-\dfrac{9}{10^{2011}+10}+1\)

=>1/10A>1/10B

=>A>B

c: \(10A=\dfrac{10^{2013}+10}{10^{2013}+1}=1+\dfrac{9}{10^{2013}+1}\)

\(10B=\dfrac{10^{2014}+10}{10^{2014}+1}=1+\dfrac{9}{10^{2014}+1}\)

\(10^{2013}+1< 10^{2014}+1\)

=>\(\dfrac{9}{10^{2013}+1}>\dfrac{9}{10^{2014}+1}\)

=>\(\dfrac{9}{10^{2013}+1}+1>\dfrac{9}{10^{2014}+1}+1\)

=>10A>10B

=>A>B

d: \(A=\dfrac{10^{12}+6}{10^{12}-11}=\dfrac{10^{12}-11+17}{10^{12}-11}=1+\dfrac{17}{10^{12}-11}\)

\(B=\dfrac{10^{11}+5}{10^{11}-12}=\dfrac{10^{11}-12+17}{10^{11}-12}=1+\dfrac{17}{10^{11}-12}\)

\(10^{12}>10^{11};-11>-12\)

Do đó: \(10^{12}-11>10^{11}-12\)

=>\(\dfrac{17}{10^{12}-11}< \dfrac{17}{10^{11}-12}\)

=>A<B

a) Ta có: \(A=\dfrac{10^{17}+1}{10^{18}+1}\)

\(10A=\dfrac{10^{18}+10}{10^{18}+1}=1+\dfrac{9}{10^{18}+1}\)

Lại có: \(B=\dfrac{10^{18}+1}{10^{19}+1}\)

\(10B=\dfrac{10^{19}+10}{10^{19}+1}=1+\dfrac{9}{10^{19}+1}\)

Ta thấy: \(10^{18}+1< 10^{19}+1\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{10^{18}+1}>\dfrac{1}{10^{19}+1}\)

\(\Rightarrow\dfrac{9}{10^{18}+1}>\dfrac{9}{10^{19}+1}\)

\(\Rightarrow1+\dfrac{9}{10^{18}+1}>1+\dfrac{9}{10^{19}+1}\)

\(\Rightarrow10A>10B\)

hay \(A>B\)

Câu b, c tương tự câu a nhé!

d) Ta có: \(A=\dfrac{10^{12}+6}{10^{12}-11}=\dfrac{10^{12}-11+17}{10^{12}-11}=1+\dfrac{17}{10^{12}-11}\)

\(B=\dfrac{10^{11}+5}{10^{11}-12}=\dfrac{10^{11}-12+17}{10^{11}-12}=1+\dfrac{17}{10^{11}-12}\)

Ta thấy: \(10^{12}>10^{11}\)

\(\Rightarrow10^{12}-11>10^{11}-11>10^{11}-12\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{10^{12}-11}< \dfrac{1}{10^{11}-12}\)

\(\Rightarrow\dfrac{17}{10^{12}-11}< \dfrac{17}{10^{11}-12}\)

\(\Rightarrow1+\dfrac{17}{10^{12}-11}< 1+\dfrac{17}{10^{11}-12}\)

\(\Rightarrow A< B\)

\(\text{#}Toru\)

Câu 1:

\(\dfrac{1}{2}=\dfrac{10}{20};\dfrac{2}{5}=\dfrac{8}{20};\dfrac{11}{20}=\dfrac{11}{20};\dfrac{3}{10}=\dfrac{6}{20}\)

Vì \(\dfrac{6}{20}< \dfrac{8}{20}< \dfrac{10}{20}< \dfrac{11}{20}\)

nên \(\dfrac{3}{10}< \dfrac{2}{5}< \dfrac{1}{2}< \dfrac{11}{20}\)

=>Bơi lội là môn được yêu thích nhất, cầu lông là môn ít được yêu thích nhất

Bài 2:

Ngày 4 gặt được:

\(1-\dfrac{4}{15}-\dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{15}=\dfrac{30}{30}-\dfrac{8}{30}-\dfrac{5}{30}-\dfrac{4}{30}=\dfrac{13}{30}\)(cánh đồng)

Gọi D là trung điểm AC

Trong mp (ABC), qua A kẻ đường thẳng vuông góc AB, qua C kẻ đường thẳng vuông góc AC, chúng cắt nhau tại H

Dễ dàng nhận ra hai tam giác vuông HAC và HAB có cặp cạnh huyền - cạnh góc vuông bằng nhau nên 2 tam giác bằng nhau

\(\Rightarrow HA=HC\Rightarrow H\) nằm trên trung trực AC (do AB=BC)

\(\Rightarrow H,A,D\) thẳng hàng

\(\left\{{}\begin{matrix}CH\perp BC\\SC\perp BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SHC\right)\Rightarrow BC\perp SH\)

Tương tự ta có \(AB\perp\left(SHA\right)\Rightarrow AB\perp SH\)

\(\Rightarrow SH\perp\left(ABC\right)\)

Gọi E là trung điểm AH \(\Rightarrow ME\) là đường trung bình tam giác SAH

\(\Rightarrow ME||SH\Rightarrow ME\perp\left(ABC\right)\) đồng thời \(ME=\dfrac{1}{2}SH\)

Gọi G là trung điểm BC \(\Rightarrow AG\perp BC\), từ D kẻ \(DF\perp BC\Rightarrow DF||AG\Rightarrow DF\) là đường trung bình tam giác AGC

\(\Rightarrow DF=\dfrac{1}{2}AG=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\)

AGCH là hình thang (AG song song CH vì cùng vuông góc BC) \(\Rightarrow EF\) là đường trung bình hình thang

\(\Rightarrow EF\perp BC\Rightarrow E,D,F\) thẳng hàng

\(AH=\dfrac{AD}{cos\widehat{DAH}}=\dfrac{AD}{cos\widehat{ABD}}=\dfrac{AD}{cos30^0}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

\(ED=\dfrac{1}{2}AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\) (trung tuyến tam giác vuông)

\(\Rightarrow EF=ED+DF=\dfrac{5a\sqrt{3}}{12}\)

Trong tam giác vuông MEF, từ E kẻ \(EK\perp MF\)

\(\left\{{}\begin{matrix}ME\perp\left(ABC\right)\Rightarrow ME\perp BC\\EF\perp BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(MEF\right)\Rightarrow BC\perp EK\)

\(\Rightarrow EK\perp\left(MBC\right)\Rightarrow EK=d\left(E;\left(MBC\right)\right)\)

\(SB=2NB\Rightarrow d\left(S;\left(MBC\right)\right)=2d\left(N;\left(MBC\right)\right)\)

\(SM=AM\Rightarrow d\left(S;\left(MBC\right)\right)=d\left(A;\left(MBC\right)\right)\)

\(AC=2DC\Rightarrow d\left(A;\left(MBC\right)\right)=2d\left(D;\left(MBC\right)\right)\)

\(\dfrac{EF}{DF}=\dfrac{5}{3}\Rightarrow d\left(E;\left(MBC\right)\right)=\dfrac{5}{3}d\left(D;\left(MBC\right)\right)=\dfrac{5}{3}d\left(N;\left(MBC\right)\right)\)

\(\Rightarrow EK=\dfrac{5}{3}.\dfrac{3a}{7}=\dfrac{5a}{7}\)

\(\dfrac{1}{EK^2}=\dfrac{1}{ME^2}+\dfrac{1}{EF^2}\Rightarrow ME=\dfrac{EF.EK}{\sqrt{EF^2-EK^2}}=5a\)

\(\Rightarrow SH=2ME=10a\)

\(V=\dfrac{1}{3}.10a.\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{5a^3\sqrt{3}}{6}\)

Gọi thời gian làm 1 mình xong công việc của bạn A là x giờ và bạn B là y giờ (x;y>0)

Trong 1 giờ bạn A làm được \(\dfrac{1}{x}\) phần công việc và bạn B làm được \(\dfrac{1}{y}\) phần công việc

Trong 1 giờ hai bạn làm chung được \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) phần công việc

Do 2 bạn làm chung trong 15 giờ thì hoàn thành công việc nên ta có pt:

\(15\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=1\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{15}\)

Hai bạn cùng làm trong 3 giờ được \(3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\) phần công việc

Bạn A làm 1 mình trong 2 giờ được \(\dfrac{2}{x}\) phần công việc

Do 2 người ...(dài quá em tự ghi lại) được \(30\%=\dfrac{3}{10}\) công việc nên ta có:

\(3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\dfrac{2}{x}=\dfrac{3}{10}\Leftrightarrow\dfrac{5}{x}+\dfrac{3}{y}=\dfrac{3}{10}\)

Ta được hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{15}\\\dfrac{5}{x}+\dfrac{3}{y}=\dfrac{3}{10}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{20}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{60}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=20\\y=60\end{matrix}\right.\)

Xét ΔBAC có AD là đường phân giác

nên \(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{CA}\)

=>\(\dfrac{BD}{3}=\dfrac{CD}{4}\)

mà BD+CD=7

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{BD}{3}=\dfrac{CD}{4}=\dfrac{BD+CD}{3+4}=\dfrac{7}{7}=1\)

=>BD=3(cm); CD=4(cm)

Xét ΔABC có AE là đường phân giác góc ngoài tại đỉnh A

nên \(\dfrac{EB}{EC}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(\dfrac{EB}{EC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}\)

=>\(\dfrac{EB}{3}=\dfrac{EC}{4}\)

mà EC-EB=BC=7cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{EB}{3}=\dfrac{EC}{4}=\dfrac{EC-EB}{4-3}=\dfrac{7}{1}=7\)

=>EB=21(cm)

=>ED=EB+BD=21+3=24(cm)

Để sửa xong đoạn đường trong 1 ngày thì cần số công nhân:

\(8.10=80\) (người)

Muốn sửa đoạn đường đó trong 5 ngày thì cần số công nhân là:

\(80:5=16\) (người)