Toán

Đường thẳng d qua A có dạng: \(y=k\left(x-1\right)+m\)

Để d tiếp xúc (C)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=y'=3x^2+6x\\x^3+3x^2+1=k\left(x-1\right)+m\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x^3+3x^2+1=\left(3x^2+6x\right)\left(x-1\right)+m\)

\(\Rightarrow m=-2x^3+6x+1\) (1)

3 tiếp tuyến \(\Rightarrow\) (1) có 3 nghiệm pb

Vẽ BBT \(\Rightarrow-3< m< 5\)

Kẻ OH\(\perp\)BC tại H

Theo đề, ta có: OH=1(cm)

ΔOBC cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của BC

ΔOHB vuông tại H

=>\(HB^2+HO^2=OB^2\)

=>\(HB=\sqrt{6^2-1^2}=\sqrt{35}\left(cm\right)\)

=>\(BC=2\cdot BH=2\sqrt{35}\left(cm\right)\)

Gọi \(\alpha\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và trục hoành

\(\Rightarrow\left|tan\alpha\right|=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{1}{4}=\left|y'\right|\)

\(\Rightarrow\left|\dfrac{-3}{\left(x-1\right)^2}\right|=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2=\dfrac{3}{4}\)

Pt có 2 nghiệm nên có 2 tiếp tuyến

a: Ta có: HD\(\perp\)AB

AC\(\perp\)AB

Do đó: HD//AC

Xét ΔHAD vuông tại D và ΔACH vuông tại H có

\(\widehat{HAD}=\widehat{ACH}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)

Do đó: ΔHAD~ΔACH

b: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có

\(\widehat{HBA}\) chung

Do đó: ΔHBA~ΔABC

c: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}\left(cm\right)\)

ΔHBA~ΔABC

=>\(\dfrac{HA}{AC}=\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{BA}{BC}\)

=>\(\dfrac{HA}{5}=\dfrac{HB}{4}=\dfrac{4}{\sqrt{41}}\)

=>\(HA=\dfrac{20}{\sqrt{41}}\left(cm\right);HB=\dfrac{16}{\sqrt{41}}\left(cm\right)\)

ΔHAD~ΔACH

=>\(\dfrac{HD}{AH}=\dfrac{HA}{AC}\)

=>\(HD=\dfrac{HA^2}{AC}=\dfrac{400}{41}:4=\dfrac{100}{41}\left(cm\right)\)

Ta có:

\(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{1}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{ab^2}}=\dfrac{2}{b}\)

\(\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{bc^2}}=\dfrac{2}{c}\)

\(\dfrac{c}{a^2}+\dfrac{1}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{ca^2}}=\dfrac{2}{a}\)

Cộng vế:

\(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)

b: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có

\(\widehat{HBA}\) chung

Do đó: ΔHBA~ΔABC

c: ΔHBA~ΔABC

=>\(\dfrac{HA}{AC}=\dfrac{AB}{BC}\)

=>\(HA=\dfrac{3\cdot4}{5}=2,4\left(cm\right)\)
d: Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHCA vuông tại H có

\(\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)

Do đó: ΔHAB~ΔHCA

=>\(\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{HB}{HA}\)

=>\(HA^2=HB\cdot HC\)

Pt đường thẳng d qua A có dạng: \(y=k\left(x-a\right)+1\)

Để (d) tiếp xúc (C) thì: \(\left\{{}\begin{matrix}k=y'=\dfrac{-1}{\left(x-1\right)^2}\\\dfrac{-x+2}{x-1}=k\left(x-a\right)+1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{-x+2}{x-1}=-\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}\left(x-a\right)+1\)

\(\Leftrightarrow a=-2x^2+6x-3\) (1)

Có 1 tiếp tuyến \(\Rightarrow\) (1) có 1 nghiệm (nghiệm kép hoặc có 2 nghiệm nhưng 1 nghiệm \(x=1\)) 

1: Tọa độ giao điểm của (d) và (d') là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+m+1=-x+3m-1\\y=x+m+1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x=3m-1-m-1=2m-2\\y=x+m+1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m-1\\y=m-1+m+1=2m\end{matrix}\right.\)

Thay x=m-1 và y=2m vào y=3x-1, ta được:

3(m-1)-1=2m

=>3m-4=2m

=>m=4

2: \(\text{Δ}=\left(-n\right)^2-4\left(n-1\right)\)

\(=n^2-4n+4=\left(n-2\right)^2>=0\forall n\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>(n-2)²>0

=>\(n-2\ne0\)

=>\(n\ne2\)

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=n\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=n-1\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{1}{\left(x_1-2\right)^2}+\dfrac{1}{\left(x_2-2\right)^2}=2\)

=>\(\dfrac{\left(x_1-2\right)^2+\left(x_2-2\right)^2}{\left[\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)\right]^2}=2\)

=>\(\dfrac{x_1^2+x_2^2-4\left(x_1+x_2\right)+8}{\left[x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)+4\right]^2}=2\)

=>\(\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-4\left(x_1+x_2\right)+8}{\left[n-1-2n+4\right]^2}=2\)

=>\(\dfrac{n^2-2\left(n-1\right)-4n+8}{\left(-n+3\right)^2}=2\)

=>\(n^2-2n+2-4n+8=2\left(n-3\right)^2\)

=>\(2\left(n^2-6n+9\right)=n^2-6n+10\)

=>\(2n^2-12n+18-n^2+6n-10=0\)

=>\(n^2-6n+8=0\)

=>(n-2)(n-4)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}n=2\left(loại\right)\\n=4\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)