Cho đường tròn (O; 10cm) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A kẻ tiếp tuyến AB, AC dến đường tròn (B, C là tiếp điểm), biết góc BAC = 80 độ. Tính OA (làm tròn đến chữ số thập phân số hai).
Cho đường tròn (O; 10cm) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A kẻ tiếp tuyến AB, AC dến đường tròn (B, C là tiếp điểm), biết góc BAC = 80 độ. Tính OA (làm tròn đến chữ số thập phân số hai).
Do AB là tiếp tuyến \(\Rightarrow\Delta OAB\) vuông tại B
Đồng thời OA là phân giác \(\widehat{BAC}\Rightarrow\widehat{BAO}=\dfrac{1}{2}\widehat{BAC}=40^0\)
Trong tam giác vuông OAB:
\(sin\widehat{BAO}=\dfrac{OB}{OA}\Rightarrow OA=\dfrac{OB}{sin\widehat{BAO}}=\dfrac{10}{sin40^0}=15,56\left(cm\right)\)
tìm số nguyên dương n để A=1111....1-7777....7(có 2n số 1, n số 7)
Bài 6
a) Ta có CE là đường cao của tam giác ABC
\(\Rightarrow CE\perp AB\) (1)
Xét đường tròn tâm O đường kính AF có B thuộc đường tròn, B không trùng với A và F
\(\Rightarrow\widehat{ABF}=90^o\) hay \(FB\perp AB\) (2)
Từ (1) và (2) CE//FB hay CH//FB
Chứng minh tương tự: BH // CF
=> Tứ giác BFHC là hình bình hành
b) Tứ giác BFHC là hình bình hành
=> BC và HF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
mà M là trung điểm của BC => HF đi qua M hay 3 điểm H, M, F thẳng hàng (đpcm)
c) Xét đường tròn tâm O có BC là dây cung khác đường kính, M là trung điểm cùa BC
=> \(OM\perp BC\) (3)
Xét tam giác ABC có hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H
=> AH \(\perp\) BC(4)
Từ (3) và (4) : OM // AH
Xét tam giác FAH có OM // AH
=> \(\dfrac{FO}{FA}=\dfrac{FM}{FH}=\dfrac{OM}{AH}\)
Mà \(FO=\dfrac{1}{2}FA\)
=> \(\dfrac{FO}{FA}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{OM}{AH}=\dfrac{1}{2}\)
hay \(OM=\dfrac{1}{2}AH\)(đpcm)
Ta có CA, CB cắt đường tròn tại M và N
=> M và N thuộc đường tròn tâm O
Xét đường tròn tâm O có AB là đường kính, M nằm trên đường tròn và M khác A và B
=> \(\widehat{BMA}=90^o\)
\(\Rightarrow BM\perp AM\) hay \(BM\perp AC\)
Chứng minh tương tự: \(\widehat{ANB}=90^o\)
\(\Rightarrow AN\perp BN\) hay \(AN\perp BC\)
Xét tam giác ABC có \(BM\perp AC\) và \(AN\perp BC\)
\(\Rightarrow BM,AN\) là hai đường cao của tam giác ABC
Mà BM cắt AN tại H
\(\\\Rightarrow\)CH là đường cao thứ 3 của tam giác ABC hay \(CH\perp AB\)(đpcm)
Gọi thời gian làm một mình xong đoạn đường của đội 1 là x ngày và đội 2 là y ngày (x;y>0)
Trong 1 ngày đội 1 làm được \(\dfrac{1}{x}\) phần con đường và đội 2 làm được \(\dfrac{1}{y}\) phần con đường
Thời gian đội 1 làm hết 1 nửa con đường \(\dfrac{x}{2}\) ngày và đội 2 là \(\dfrac{y}{2}\) ngày
Do đội 2 làm mất nhiều hơn đội 1 là 30 ngày nên:
\(\dfrac{y}{2}-\dfrac{x}{2}=30\Rightarrow y-x=60\)
Trong 1 ngày cả 2 đội cùng làm được: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) phần con đường
Do cả 2 đội cùng làm thì xong trong 72 ngày nên: \(72\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=1\)
Ta được hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}y-x=60\\72\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=x+60\\72\left(x+y\right)=xy\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow72\left(x+x+60\right)=x\left(x+60\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-84x-4320=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=120\\x=-36\left(loại\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y=180\)
Vậy đội 1 làm trong \(\dfrac{120}{2}=60\) ngày và đội 2 làm trong \(\dfrac{180}{2}=90\) ngày
Gọi thời gian làm một mình hoàn thành con đường của tổ 1 là x(giờ)
(Điều kiện: x>0)
Thời gian làm một mình hoàn thành con đường của tổ 2 là x+6(giờ)
Trong 1h, tổ 1 làm được \(\dfrac{1}{x}\)(con đường)
Trong 1h, tổ 2 làm được \(\dfrac{1}{x+6}\)(con đường)
Trong 1h, hai tổ 2 làm được \(\dfrac{1}{4}\)(con đường)
Do đó, ta có phương trình:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+6}=\dfrac{1}{4}\)
=>\(\dfrac{x+6+x}{x\left(x+6\right)}=\dfrac{1}{4}\)
=>\(x\left(x+6\right)=4\left(2x+6\right)\)
=>\(x^2+6x-8x-24=0\)
=>\(x^2-2x-24=0\)
=>(x-6)(x+4)=0
=>\(\left[{}\begin{matrix}x-6=0\\x+4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=6\left(nhận\right)\\x=-4\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy: Thời gian để tổ 1 hoàn thành con đường khi làm một mình là 6 giờ
Thời gian để tổ 2 hoàn thành con đường khi làm một mình là 6+6=12(giờ)
Gọi thời gian làm 1 mình xong việc của hai người thợ lần lượt là x và y giờ (x;y>0)
Trong 1 giờ hai người lần lượt làm được \(\dfrac{1}{x}\) và \(\dfrac{1}{y}\) phần công việc
Thời gian làm nửa việc một mình của 2 người lần lượt là \(\dfrac{x}{2}\) và \(\dfrac{y}{2}\) giờ
Do 2 người làm riêng rẽ mỗi người một nửa việc hết 12h30ph =25/2 giờ nên:
\(\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2}=\dfrac{25}{2}\Rightarrow x+y=25\)
Hai người cùng làm trong 1 giờ được: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) phần công việc
Do 2 người cùng làm xong trong 6h nên: \(6\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=1\)
Ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=25\\6\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=25-x\\6\left(x+y\right)=xy\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow6.25=x\left(25-x\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-25x+150=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=10\\x=15\end{matrix}\right.\)
Vậy nếu 2 người làm việc riêng rẽ thì xong việc trong 10 và 15 giờ
2x-14=3x+15-8
\(2x-14=3x+15-8\)
\(\Leftrightarrow0=3x-2x+15+14-8\)
\(\Leftrightarrow0=x+21\)
\(\Leftrightarrow x=-21\)
Vậy x = -21