Toán

Gọi hai số cần tìm là x,y

Tỉ số giữa chúng là 3:7 nên \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{7}\)

Đặt \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{7}=k\)

=>x=3k; y=7k

Ta có: x*y=189

=>\(3k\cdot7k=189\)

=>\(k^2=9\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}k=3\\k=-3\end{matrix}\right.\)

TH1: k=3

=>\(x=3\cdot3=9;y=7\cdot3=21\)

TH2: k=-3

=>\(x=3\cdot\left(-3\right)=-9;y=7\cdot\left(-3\right)=-21\)

Thay x=2 và y=-5 vào (d), ta được:

\(2\left(3a-1\right)+2b\left(-5\right)=56\)

=>\(3a-1-10b=28\)

=>3a-10b=29(1)

Thay x=2 và y=-5 vào (d'), ta được:

\(0,5a\cdot2-\left(3b+2\right)\cdot\left(-5\right)=3\)

=>\(a+15b+10=3\)

=>a+15b=-7(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}3a-10b=29\\a+15b=-7\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}9a-30b=87\\2a+30b=-14\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}11a=73\\3a-10b=29\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{73}{11}\\10b=3a+29=3\cdot\dfrac{73}{11}+29=\dfrac{538}{11}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{73}{11}\\b=\dfrac{538}{110}\end{matrix}\right.\)

a: 

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(-x^2=2x-3\)

=>\(x^2+2x-3=0\)

=>(x+3)(x-1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=-3\\x=1\end{matrix}\right.\)

Thay x=-3 vào y=2x-3, ta được:

\(y=2\cdot\left(-3\right)-3=-9\)

Thay x=1 vào y=2x-3, ta được:

\(y=2\cdot1-3=-1\)

vậy: A(-3;-9); B(1;-1)

O(0;0); A(-3;-9); B(1;-1)

\(OA=\sqrt{\left(-3-0\right)^2+\left(-9-0\right)^2}=3\sqrt{10}\)

\(OB=\sqrt{\left(1-0\right)^2+\left(-1-0\right)^2}=\sqrt{2}\)

\(AB=\sqrt{\left(1+3\right)^2+\left(-1+9\right)^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\)

Xét ΔOAB có \(cosAOB=\dfrac{OA^2+OB^2-AB^2}{2\cdot OA\cdot OB}=\dfrac{90+2-80}{2\cdot3\sqrt{10}\cdot\sqrt{2}}=\dfrac{12}{12\sqrt{5}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)

=>\(sinAOB=\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)^2}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)

Diện tích tam giác AOB là:

\(S_{AOB}=\dfrac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot sinAOB\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{5}}\cdot3\sqrt{10}\cdot\sqrt{2}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot3\sqrt{20}=6\)

Hai biến cố này xung khắc nhau

a.

Theo giả thiết \(\left\{{}\begin{matrix}CO\perp AB\\CH\perp AM\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\widehat{AHC}=\widehat{AOC}=90^0\)

\(\Rightarrow\) O và H cùng nhìn AC dưới 1 góc vuông nên CHOA nội tiếp

b.

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AOC}=90^0\\OA=OC=R\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta OAC\) vuông cân tại O

\(\Rightarrow\widehat{CAO}=\widehat{ACO}=45^0\)

Theo câu a, CHOA nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{AHO}=\widehat{ACO}=45^0\) (cùng chắn AO)

\(\Rightarrow\widehat{NHM}=\widehat{AHO}=45^0\) (đối đỉnh)

\(\widehat{AMB}=90^0\) (góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow\widehat{ONB}=90^0-\widehat{NHM}=45^0\)

c.

\(OB=OC=R\Rightarrow\Delta OBC\) vuông cân tại O \(\Rightarrow\widehat{OCB}=45^0\)

\(\Rightarrow\widehat{OCB}=\widehat{ONB}\Rightarrow OCNB\) nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{CNB}+\widehat{COB}=180^0\Rightarrow\widehat{CNB}=90^0\)

\(\Rightarrow CNMH\) là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

Theo cm câu b, \(\widehat{NHM}=\widehat{ONB}=45^0\Rightarrow\Delta HNM\) cân tại M

\(\Rightarrow HM=NM\Rightarrow CNMH\) là hình vuông

\(\Rightarrow HN\) là trung trực của CM

\(\Rightarrow IC=IM\) \(\Rightarrow\Delta ICM\) cân tại I

\(\Rightarrow\widehat{ICM}=\widehat{IMC}\) 

Mà \(\widehat{IMC}=\widehat{CBD}\) (cùng chắn CD)

\(\Rightarrow\widehat{ICM}=\widehat{CBD}\)

\(\Rightarrow\) CM song song BD (hai góc so le trong bằng nhau)

d.

Giả sử D, H, B thẳng hàng

Theo câu c, CM song song BD \(\Rightarrow CM||BH\)

\(\Rightarrow\widehat{BHM}=\widehat{HMC}=45^0\) (so le trong)

\(\Rightarrow\Delta BMH\) vuông cân tại M

\(\Rightarrow BM=MH\)

\(\Rightarrow BM=HM=NM=CN\) (do CNMH là hình vuông theo cmt)

\(\Rightarrow BN=2BM\)

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác OBC:

\(BC^2=OB^2+OC^2=2R^2\)

Áp dụng Pitago cho tam giác BCN:

\(BC^2=CN^2+BN^2\)

\(\Rightarrow2R^2=BM^2+\left(2BM\right)^2\)

\(\Rightarrow2R^2=5BM^2\)

\(\Rightarrow BM^2=\dfrac{2R^2}{5}\)

\(\Rightarrow BM=\dfrac{R\sqrt{10}}{5}\)

Vậy để D, H, B thẳng hàng thì M nằm ở vị trí trên cung BC sao cho \(BM=\dfrac{R\sqrt{10}}{5}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\\BD\in\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow SA\perp BD\)

Lại có \(AC\perp BD\) (hai đường chéo hình vuông)

\(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\\AD\perp CD\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\) (1)

M là trung điểm SC, N là trung điểm SD \(\Rightarrow\) MN là đường trung bình tam giác SCD

\(\Rightarrow MN||CD\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow MN\perp\left(SAD\right)\)

Gọi O là tâm đáy \(\Rightarrow ON\) là đường trung bình tam giác SBD

\(\Rightarrow ON||SB\Rightarrow\widehat{\left(SB,CN\right)}=\widehat{\left(ON,CN\right)}=\widehat{ONC}\)

\(SB=\sqrt{SA^2+AB^2}=2a\)

\(ON=\dfrac{1}{2}SB\Rightarrow ON=a\)

\(OC=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(SD=\sqrt{SA^2+AD^2}=2a\Rightarrow ND=\dfrac{1}{2}SD=a\)

\(\Rightarrow CN=\sqrt{CD^2+ND^2}=a\sqrt{2}\)

\(cos\widehat{ONC}=\dfrac{ON^2+CN^2-OC^2}{2ON.CN}=\dfrac{5\sqrt{2}}{8}\)

\(\Rightarrow\widehat{ONC}\approx27^053'\)

a.

Theo giả thiết \(\widehat{AHM}=\widehat{APM}=\widehat{AQM}=90^0\) 

\(\Rightarrow\) H, P, Q cùng nhìn AM dưới 1 góc vuông

\(\Rightarrow\) A, P, M, H, Q cùng thuộc đường tròn đường kính AM

Do O là trung điểm AM \(\Rightarrow O\) là tâm đường tròn nói trên.

Gọi bán kính đường tròn là R.

b.

Tam giác ABC đều và AH là đường cao nên đồng thời là phân giác góc A

\(\Rightarrow\widehat{PAH}=\dfrac{1}{2}\widehat{A}=30^0\)

Mà \(\widehat{POH}=2\widehat{PAH}\) (góc ở tâm gấp đôi góc nt cùng chắn 1 cung)

\(\Rightarrow\widehat{POH}=60^0\)

Theo cm câu a, P, H cùng thuộc đường tròn nên \(OP=OH=R\)

\(\Rightarrow\Delta OPH\) cân tại O \(\Rightarrow\Delta OPH\) là tam giác đều (tam giác cân có 1 góc 60 độ)

\(\Rightarrow OP=OH=PH\)

Chứng minh tương tự ta có tam giác OQH đều \(\Rightarrow OQ=OH=QH\)

\(\Rightarrow OP=PH=HQ=OQ\) nên OPHQ là hình thoi

c.

Gọi D là trung điểm OH, theo cmt ta có tam giác OPH đều

\(\Rightarrow PD\perp OH\Rightarrow\Delta OPD\) vuông tại D

\(\Rightarrow PD=OP.sin\widehat{POH}=R.sin60^0=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\)

Do OPHQ là hình thoi \(\Rightarrow PQ=2PD=R\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow PQ\) nhỏ nhất khi R nhỏ nhất

Mà AM là đường kính \(\Rightarrow AM=2R\Rightarrow PQ\) nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất

\(\Rightarrow\) M là hình chiếu vuông góc của A lên BC

\(\Rightarrow M\) trùng H

Vậy khi M là trung điểm BC thì PQ có độ dài nhỏ nhất

\(\widehat{ACD}\) là góc nt chắn nửa đường tròn \(\Rightarrow\widehat{ACD}=90^0\)

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\) (cùng chắn AC)

\(\Rightarrow\Delta_VAMB\sim\Delta_VACD\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{DAC}\) (1)

Do AKHN nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{AKE}=\widehat{AHN}\) (cùng chắn AN)

\(\widehat{AHN}+\widehat{MHN}=180^0\) (kề bù)

M và N cùng nhìn CH dưới 1 góc vuông \(\Rightarrow MHNC\) nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{MHN}+\widehat{ACF}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{AKE}=\widehat{ACF}\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\Delta AKE\sim\Delta ACF\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AK}{AC}=\dfrac{AE}{AF}\)

Lại có: \(\widehat{AKH}=\widehat{ACD}=90^0\) (3)

(1);(3) \(\Rightarrow\Delta AKH\sim\Delta ACD\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AK}{AC}=\dfrac{AH}{AD}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AH}{AD}\Rightarrow\dfrac{AE}{AH}=\dfrac{AF}{AD}\)

\(\Rightarrow EF||HD\) (4)

Do CD và BH cùng vuông góc AC (gt) \(\Rightarrow CD||BH\)

Tương tự, BD và CH cùng vuông góc AB \(\Rightarrow BD||CH\)

\(\Rightarrow BHCD\) là hình bình hành

\(\Rightarrow BC\) và HD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

I là trung điểm BC \(\Rightarrow I\) là trung điểm HD hay H, D, I thẳng hàng  (5)

(4);(5) \(\Rightarrow EF||HI\)

a: Thay m=1 vào hệ phương trình, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x+y=2\cdot1+9=11\\x+y=5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3x+y=11\\x+y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x+y-x-y=11-5\\x+y=5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x=6\\x+y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=2\end{matrix}\right.\)

b: Vì \(\dfrac{3}{1}\ne\dfrac{1}{1}\)

nên hệ luôn có nghiệm duy nhất

\(\left\{{}\begin{matrix}3x+y=2m+9\\x+y=5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x=2m+4\\x+y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m+2\\y=5-m-2=-m+3\end{matrix}\right.\)

2x+y=2027

=>2(m+2)+(-m+3)=2027

=>2m+4-m+3=2027

=>m+7=2027

=>m=2020