Toán

Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Justasecond
3 tháng 3 2021 lúc 19:57
Bình luận (0)
 Mashiro Shiina
3 tháng 3 2021 lúc 20:04

Câu 266 là >= chứ nhỉ?

Bình luận (1)
Justasecond
3 tháng 3 2021 lúc 20:10

Câu 5 (có chữ HẾT (.❛ ᴗ ❛.) )

Đặt \(P=a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\)

Ta có:

\(a\ge0\Rightarrow b^3+1\ge1\Rightarrow a\sqrt{b^3+1}\ge a\)

Hoàn toàn tương tự, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}b\sqrt{c^3+1}\ge b\\c\sqrt{a^3+1}\ge c\end{matrix}\right.\)

Cộng vế: \(P\ge a+b+c=3\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;3\right)\) và các hoán vị

\(a\sqrt{b^3+1}=a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\dfrac{1}{2}a\left(b^2+2\right)=\dfrac{1}{2}ab^2+a\)

Tương tự: \(b\sqrt{c^3+1}\le\dfrac{1}{2}bc^2+b\) ; \(c\sqrt{a^3+1}\le\dfrac{1}{2}ca^2+c\)

Cộng vế: \(P\le\dfrac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a=mid\left\{a;b;c\right\}\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a-c\right)\le0\Leftrightarrow a^2+bc\le ac+ab\Rightarrow ca^2+bc^2\le ac^2+abc\)

\(\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le ab^2+ac^2+abc\le ab^2+ac^2+2abc=a\left(b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le\dfrac{1}{2}.2a\left(b+c\right)\left(b+c\right)\le\dfrac{1}{54}\left(2a+2b+2c\right)^3=4\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{2}.4+3=5\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;2;0\right)\) và 1 số hoán vị

Bình luận (0)
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Justasecond
2 tháng 3 2021 lúc 19:47

2.

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\ge16\Rightarrow a+b\ge4\)

\(\dfrac{a^2+b^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2\left(a+b\right)}=\dfrac{a+b}{2}\)

Nên ta chỉ cần chứng minh: \(\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{6}{a+b-1}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b-1\right)-12\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-4\right)\left(a+b+3\right)\ge0\) (luôn đúng với mọi \(a+b\ge4\))

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\)

Bình luận (0)
Justasecond
2 tháng 3 2021 lúc 19:50

Câu cuối:

Ta chứng minh BĐT phụ sau: với mọi x;y;z dương, ta luôn có: \(\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\ge\dfrac{x+y}{2}\)

Thật vậy, bất đẳng thức tương đương:

\(2\left(x^3+y^3\right)\ge\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (đúng)

Áp dụng:

\(P\ge\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{b+c}{2}+\dfrac{c+a}{2}=a+b+c\ge6\)

\(P_{min}=6\) khi \(a=b=c=2\)

Bình luận (0)
Trần Minh Hoàng
2 tháng 3 2021 lúc 20:09

7:

a) Đặt \(\left(x,y\right)=\left(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b}\right)\).

Ta có \(x+y=2\).

BĐT cần chứng minh trở thành:

\(\dfrac{x}{2+x^2}+\dfrac{y}{2+y^2}\le\dfrac{2}{3}\).

Ta có \(\dfrac{x}{2+x^2}+\dfrac{y}{2+y^2}=\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2}-\left[\dfrac{x^3}{2\left(2+x^2\right)}+\dfrac{y^3}{2\left(2+y^2\right)}\right]=1-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{x^3}{2+x^2}+\dfrac{y^3}{2+y^2}\right]\).

Mặt khác ta có \(\dfrac{x^3}{2+x^2}-\left(\dfrac{7}{9}x-\dfrac{4}{9}\right)=\dfrac{2\left(x-1\right)^2\left(x+4\right)}{9\left(x^2+2\right)}\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^3}{2+x^2}\ge\dfrac{7}{9}x-\dfrac{4}{9}\).

Tương tự, \(\dfrac{y^3}{2+y^2}\ge\dfrac{7}{9}y-\dfrac{4}{9}\).

Do đó \(\dfrac{x^3}{2+x^2}+\dfrac{y^3}{2+y^2}\ge\dfrac{7}{9}\left(x+y\right)-\dfrac{8}{9}=\dfrac{2}{3}\).

\(\Rightarrow\dfrac{x}{2+x^2}+\dfrac{y}{2+y^2}=1-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{x^3}{2+x^2}+\dfrac{y^3}{2+y^2}\right]\le\dfrac{2}{3}\).

BĐT dc cm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1.

 

 

 

Bình luận (0)
Đỗ Quyên
Xem chi tiết
Yeutoanhoc
1 tháng 3 2021 lúc 8:50

Ủa mình có quà kìa :))

Bình luận (2)
Khang Diệp Lục
1 tháng 3 2021 lúc 8:52

Đa số các tỉnh thành đi học trở lại rồi nên tự nhiên hoc24 vắng quá :))

Cứ thiếu thiếu thế nào ấy :D

Bình luận (11)
Lê Trang
1 tháng 3 2021 lúc 10:55

Mấy a/chị đỉnh quá! Chúc mừng mọi người!~

Bình luận (3)
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Yeutoanhoc
28 tháng 2 2021 lúc 22:51

Còn tưởng giải bài tập cơ XD

Bình luận (2)
Lê Thu Dương
28 tháng 2 2021 lúc 22:52

Eo AD có tâm quá điii..

Bình luận (6)
HT2k02
1 tháng 3 2021 lúc 17:06

Không có mô tả ảnh.

Bình luận (0)
Ngố ngây ngô
Xem chi tiết
Yeutoanhoc
28 tháng 2 2021 lúc 16:53

`4)(2x^3+3x)/(7-2x)>\sqrt{2-x}(x<=2)`

`<=>(2x^3+3x^2)/(7-2x)-1>\sqrt{2-x}-1`

`<=>(2x^3+3x^2+2x-7)/(7-2x)-((\sqrt{2-x}-1)(\sqrt{2-x}+1))/(\sqrt{2-x}+1)>0`

`<=>(2x^3-2x^2+5x^2-5x+7x-7)/(7-2x)-(1-x)/(\sqrt{2-x}+1)>0`

`<=>((x-1)(2x^2+5x+7))/(7-2x)+(x-1)/(\sqrt{2-x}+1)>0`

`<=>(x-1)((2x^2+5x+7)/(7-2x)+1/(\sqrt{2-x}+1))>0`

`<=>x>1` do `x<=2=>7-2x>0,2x^2+5x+7>0 AA x,\sqrt{2-x}>0,1>0`

`=>(2x^2+5x+7)/(7-2x)+1/(\sqrt{2-x}+1)>0`

`=>1<x<=2`

Bình luận (0)
Yeutoanhoc
28 tháng 2 2021 lúc 17:06

Câu 1:

$\begin{cases}14x^2-21y^2-6x+45y-4=0\\35x^2+28y^2+41x-122y+56=0\\\end{cases}$

`<=>` $\begin{cases}686x^2-1028y^2-174x+294y-196=0\\525x^2+420y^2+615x-1830y+840\\\end{cases}$

Lấy pt đầu trừ pt dưới

`<=>161x^2+483y-1127-483xy-1449y+3381+218x+654y-1519=0`

`<=>161x(x+3y-7)-483y(x+3y-7)+218(x+3y-7)=0`

`<=>(x+3y-7)(161x-483y+218)=0`

Đến đây chia 2 th ta được `(x,y)=(-2,3),(1,2)`

Bình luận (5)
Justasecond
28 tháng 2 2021 lúc 17:50

Câu 5:

\(2\ge a^2+c^2+b^2\ge2\left|ac\right|+b^2\ge2\left|ac\right|\Rightarrow-1\le ac\le1\)

\(2\ge a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow2-2ab-2bc+2ca\ge a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ca\)

\(\Rightarrow2-2ab-2bc+2ca\ge\left(a+c-b\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow1-ab-bc+ca\ge0\)

\(\Rightarrow-ab-bc\ge-ca-1\)

\(\Rightarrow P\ge2021ca-ca-1=2020ca-1\ge-2020-1=-2021\)

\(P_{min}=-2021\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;0;-1\right)\) hoặc \(\left(-1;0;1\right)\)

 

Bình luận (0)
Đỗ Quyên
Xem chi tiết
Shiba Inu
27 tháng 2 2021 lúc 9:59

Em có 20 coin ạ. Mong là không có người gian lận coin nhằm mục đích cá nhân, xây dựng hoc24 tốt đẹp.

Bình luận (2)
Lê Huy Tường
27 tháng 2 2021 lúc 10:00

em thấy rất hay cô ạ

ví của tôi giúp em chăm chỉ học taapjj hơn ạ (chắc thế )

nhưng tóm lại thì em rất thik ạ hihi

Bình luận (1)
✿✿❑ĐạT̐®ŋɢย❐✿✿
27 tháng 2 2021 lúc 10:03

Yey :)) Em có 0 COIN cô ơi ._.

Thực sự thấy chức năng này khá là hay, tạo động lực để các bạn cùng phát triển web và tích cực hơn. Mong mọi người cùng nhau cố gắng để tích lũy COIN.

Nhưng đừng gian lận nhé các bạn :))

- Thân ái -

Bình luận (0)
Nguyễn Thị Thảo Trang
Xem chi tiết
svtkvtm
4 tháng 3 2021 lúc 19:32

Với: y=0 thì: \(-x^2+13x=-24\text{ nên: }x^2-13x-24=0\text{ thấy ngay phương trình này ko có nghiệm nguyên}\)

\(\text{Nếu: }y>0\text{ thì: }x^2-13x=23+11^y\text{ do đó: }\left(x-1\right)^2-11x=24+11^y\text{ do đó: }\left(x-1\right)^2\text{ chia 11 dư 2}\)

THấy ngay 1 số chia 11 dư 0;+-1 ; +-2; +-3;....;+-5 mà: 0;1;4;9;16;25 không có số nào chia 11 dư 2 nên loại nên phương trình vô nghiệm

Bình luận (1)
Akai Haruma
27 tháng 2 2021 lúc 22:50

Lời giải:

PT $\Leftrightarrow 11^y=x^2-13x-23$

Nếu $x\equiv 0\pmod 3$ thì:

$x^2-13x-23\equiv -23\equiv 1\pmod 3$

Nếu $x\equiv 1\pmod 3$ thì:

$x^2-13x-23\equiv 1-13-23\equiv 1\pmod 3$

Nếu $x\equiv 2\pmod 3$ thì:

$x^2-13x-23\equiv 1-13.2-23\equiv 0\pmod 3$

Do đó $11^y\equiv 0\pmod 3$ (vô lý) hoặc $11^y\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow (-1)^y\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow y$ chẵn. Đặt $y=2t$

$11^{2t}-x^2+13x+23=0$

$(2.11^{t})^2-(2x-13)^2=-261$

$(2.11^t-2x-13)(2.11^t+2x+13)=-261$

Đến đây là dạng phương trình tích cơ bản. Bạn có thể dễ dàng giải.

 

 

Bình luận (3)
Akai Haruma
27 tháng 2 2021 lúc 22:50

Lời giải:

PT $\Leftrightarrow 11^y=x^2-13x-23$

Nếu $x\equiv 0\pmod 3$ thì:

$x^2-13x-23\equiv -23\equiv 1\pmod 3$

Nếu $x\equiv 1\pmod 3$ thì:

$x^2-13x-23\equiv 1-13-23\equiv 1\pmod 3$

Nếu $x\equiv 2\pmod 3$ thì:

$x^2-13x-23\equiv 1-13.2-23\equiv 0\pmod 3$

Do đó $11^y\equiv 0\pmod 3$ (vô lý) hoặc $11^y\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow (-1)^y\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow y$ chẵn. Đặt $y=2t$

$11^{2t}-x^2+13x+23=0$

$(2.11^{t})^2-(2x-13)^2=-261$

$(2.11^t-2x-13)(2.11^t+2x+13)=-261$

Đến đây là dạng phương trình tích cơ bản. Bạn có thể dễ dàng giải.

 

 

Bình luận (0)
Ngố ngây ngô
Xem chi tiết
tthnew
26 tháng 2 2021 lúc 19:22

\(P=\sum\sqrt[3]{3a+1}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}}\sum\sqrt[3]{2\cdot2\cdot\left(3a+1\right)}\le\dfrac{1}{3\sqrt[3]{4}}\sum\left(3a+5\right)=3\sqrt[3]{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}.\)

Nãy em sai nha chứ không phải đề sai:vv Buồn ngủ đọc không kỹ đề:vv

 

Bình luận (3)
tthnew
26 tháng 2 2021 lúc 19:28

Bài 1.1.8 Khá hay và dễ.

Ta chứng minh: \(\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)^2\ge\left(1+ab^2\right)^3\)

Áp dụng bất đẳng thức Holder:

\(VT=\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)\left(1+b^3\right)\ge\left[1+\left(a\cdot b\cdot b\right)\right]^3=\left(1+ab^2\right)^3\)

Thiết lập hai bất đẳng thức còn lại và nhân theo vế ta thu được đpcm.

Dấu đẳng thức xin dành cho bạn đọc.

Ps:  BTV thì BTV, thấy bài là em giải nha:v

Bình luận (2)
Nguyễn Trọng Chiến
26 tháng 2 2021 lúc 21:33

Bài 183:

Ta cần chứng minh : \(\dfrac{a^3+b^3}{c}+\dfrac{b^3+c^3}{a}+\dfrac{c^3+a^3}{b}\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow ab\left(a^3+b^3\right)+bc\left(b^3+c^3\right)+ca\left(c^3+a^3\right)\ge2abc\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow a^4b+ab^4+b^4c+bc^4+c^4a+ca^4\ge2a^2b^2c+2ab^2c^2+2a^2bc^2\) Áp dụng bđt Cô-si vào các số dương a,b,c có:

\(a^4b+bc^4\ge2a^2bc^2,ab^4+ac^4\ge2ab^2c^2,b^4c+ca^4\ge2a^2b^2c\)

\(\Rightarrow a^4b+ab^4+b^4c+bc^4+ca^4+c^4a\ge2a^2b^2c+2ab^2c^2+2a^2bc^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^3+b^3}{c}+\dfrac{b^3+c^3}{a}+\dfrac{c^3+a^3}{b}\ge2\left(ab+bc+ca\right)\) 

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Bình luận (1)
Đỗ Quyên
Xem chi tiết
ひまわり(In my personal...
26 tháng 2 2021 lúc 16:06

undefined

em nghèo hơn cô rồi hic

Bình luận (6)
mikusanpai(՞•ﻌ•՞)
26 tháng 2 2021 lúc 16:09

vâng cô

Bình luận (0)
Nguyễn Trần Thành Đạt
26 tháng 2 2021 lúc 16:59

Thích thật sự, coin - hi vọng sẽ có nhiều trải nghiệm thú vị với coin.

Bình luận (0)
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Yeutoanhoc
26 tháng 2 2021 lúc 11:20

`\sqrt{4x^2+5x+1}-2\sqrt{x^2-x+1}=6-18x`

`<=>\sqrt{4x^2+5x+1}-\sqrt{4x^2-4x+4}=6-18x`

`<=>(9x-3)/(\sqrt{4x^2+5x+1}+\sqrt{4x^2-4x+4})+6(3x-1)=0`

`<=>(3x-1)(3/(\sqrt{4x^2+5x+1}+\sqrt{4x^2-4x+4})+6)=0`

Ta thấy `3/(\sqrt{4x^2+5x+1}+\sqrt{4x^2-4x+4})+6>0`

`=>3x-1=0`

`=>3x=1`

`=>x=1/3`

Vậy `S={1/3}`

`1/(x^2+9x+20)=1/15-1/(x^2+5x+4)(x ne -1,-4,-5)`

`=>1/((x+4)(x+5))=1/15-1/((x+1)(x+4))`

`=>1/(x+4)-1/(x+5)=1/15-1/((x+1)(x+4))`

`=>3/(x+4)-3/(x+5)=3/15-3/((x+1)(x+4))`

`=>3/(x+4)-3/(x+5)=3/15-1/(x+1)+1/(x+4)`

`=>2/(x+4)-3/(x+5)+1/(x+1)=3/15`

`=>30(x+1)(x+5)-45(x+1)(x+4)+15(x+4)(x+5)=3(x+1)(x+4)(x+5)`

`=>30(x^2+6x+5)-45(x^2+5x+4)+15(x^2+9x+20)=3(x^2+5x+4)(x+5)`

`<=>90x+270=3(x^3+8x^2+29x+20)`

`<=>x^3+24x^2-3x-210=0`

`=>x=-23\or\x=2,85\or\x=-3`

`A=(10^50+2)/(10^50-1)`

`=1+3/(10^50-1)`

Tương tự:

`B=1+3/(10^50-3)`

`10^50-1>10^50-3>0`

`=>3/(10^50-1)<3/(10^50-3)`

`=>A<B`

`20.2^x+1=10.4^2+1`

`=>20.2^x=10.4^2`

`=>2^x=4^2/2=2^3`

`=>x=3`

Vậy x=3

Bình luận (3)
Shiba Inu
26 tháng 2 2021 lúc 10:51

C180 : 

    20 . 2x + 1 = 10 . 42 + 1

\(\Leftrightarrow\) 2 . 2x = 42

\(\Leftrightarrow\) 2x + 1 = 24

\(\Leftrightarrow\) x + 1 = 4

\(\Leftrightarrow\) x = 3

Vậy x = 3

 

Bình luận (0)
Nguyễn Trọng Chiến
26 tháng 2 2021 lúc 21:12

179:

CM bđt phụ \(a>b;a,b,m\in N\) thì \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a-m}{b-m}\Rightarrow a\left(b-m\right)< b\left(a-m\right)\Leftrightarrow ab-am< ab-bm\Leftrightarrow-am< -bm\Leftrightarrow a>b\)\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a-m}{b-m}\)

Áp dụng bđt phụ  \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a-m}{b-m}\) với a>b,a,b,m\(\in N\) có:

\(\Rightarrow A=\dfrac{10^{50}+2}{10^{50}-1}< \dfrac{10^{50}+2-2}{10^{50}-1-2}=\dfrac{10^{50}}{10^{50}-3}=B\)

 \(\Rightarrow A< B\)

 

Bình luận (0)