Toán

b: \(B=\dfrac{5}{1\cdot9}+\dfrac{5}{9\cdot17}+...+\dfrac{5}{793\cdot801}\)

\(=\dfrac{5}{8}\left(\dfrac{8}{1\cdot9}+\dfrac{8}{9\cdot17}+...+\dfrac{8}{793\cdot801}\right)\)

\(=\dfrac{5}{8}\left(1-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{17}+...+\dfrac{1}{793}-\dfrac{1}{801}\right)\)

\(=\dfrac{5}{8}\left(1-\dfrac{1}{801}\right)=\dfrac{5}{8}\cdot\dfrac{800}{801}=\dfrac{500}{801}\)

c: \(M=\dfrac{4}{2\cdot4}+\dfrac{4}{6\cdot8}+...+\dfrac{4}{38\cdot40}\)

\(=2\left(\dfrac{2}{2\cdot4}+\dfrac{2}{6\cdot8}+...+\dfrac{2}{38\cdot40}\right)\)

\(=2\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{38}-\dfrac{1}{40}\right)\)

\(=2\left[\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{40}\right)-2\cdot\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{40}\right)\right]\)

\(=2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{40}\right)-4\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{40}\right)\)

\(=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{20}-1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-...-\dfrac{1}{10}\)

\(=\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{12}+...+\dfrac{1}{20}\)

\(=2\left(\dfrac{1}{22}+\dfrac{1}{24}+...+\dfrac{1}{40}\right)\)

=2N

=>\(\dfrac{M}{N}=2\)

Bài 8: 

Gọi số mét đường họ dự định sửa là: \(x\left(m\right)\)

ĐK: \(x>0\) 

Thời gian sửa đường dự định là: \(\dfrac{x}{40}\) (ngày) 

Thời gian sửa đường thực tế là: \(\dfrac{x}{30}\) (ngày)  

Do thời gian thực tế dài hơn dự kiến 6 ngày nên ta có pt:

\(\dfrac{x}{40}+6=\dfrac{x}{30}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{30}-\dfrac{x}{40}=6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4x}{120}-\dfrac{3x}{120}=6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{120}=6\)

\(\Leftrightarrow x=720\left(tm\right)\)

Vậy: ... 

Bài 6:

Gọi x (cái áo) là số cái áo theo kế hoạch tổ phải may (x ∈ ℕ*)

Số ngày hoàn thành theo dự định là: x/30 (ngày)

Số áo thực tế may được: x + 20 (cái áo)

Số ngày may thực tế: (x + 20)/40 (ngày)

Theo đề bài ta có phương trình:

x/30 - (x + 20)/40 = 3

4x - 3(x + 20) = 3.120

4x - 3x - 60 = 360

x = 360 + 60

x = 420 (nhận)

Vậy số áo của tổ phải may theo kế hoạch là 420 cái áo

Bài 7

Gọi x (cái áo) là số áo phải may mỗi ngày theo dự định (x ∈ ℕ*)

Số ngày may theo dự định là 120/x (ngày)

Số áo thực tế mỗi ngày may được: x + 3 (cái áo)

Số ngày may thực tế: 120/(x + 3) (ngày)

Theo đề bài ta có phương trình:

120/x - 120/(x + 3) = 2

120(x + 3) - 120x = 2x(x + 3)

120x + 360 - 120x = 2x² + 6x

2x² + 6x - 360 = 0

x² + 3x - 180 = 0

x² - 12x + 15x - 180 = 0

(x² - 12x) + (15x - 180) = 0

x(x - 12) + 15(x - 12) = 0

x - 12 = 0 hoặc x + 15 = 0

*) x - 12 = 0

x = 12 (nhận)

*) x + 15 = 0

x = -15 (loại)

Vậy thời gian dự định hoàn thành của tổ là 12 ngày

Bài 4:

a) \(B=\dfrac{x+1}{x-3}\left(x\ne3\right)\)

ĐK:

Ta có: \(\left|x-4\right|=1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-4=1\left(đk:x\ge4\right)\\x-4=-1\left(đk:x< 4\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=3\end{matrix}\right.\) 

Khi `x=5` ta có: \(B=\dfrac{5+1}{5-3}=\dfrac{6}{2}=3\)

Khi `x=3(ktm)` vì không thỏa mãn đk của B  

b) \(A=\dfrac{x}{x-3}-\dfrac{x+1}{x+3}+\dfrac{3x-3}{9-x^2}\left(x\ne\pm3\right)\)

\(=\dfrac{x}{x-3}-\dfrac{x+1}{x+3}-\dfrac{3x-3}{x^2-9}\)

\(=\dfrac{x\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}-\dfrac{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}-\dfrac{3x-3}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\)

\(=\dfrac{x^2+3x-\left(x^2-3x+x-3\right)-3x+3}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\)

\(=\dfrac{x^2+3-x^2+2x+3}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\)

\(=\dfrac{2x+6}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\)

\(=\dfrac{2\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\)

\(=\dfrac{2}{x-3}\) 

c) \(M=\dfrac{x+1}{x-3}:\dfrac{2}{x-3}=\dfrac{x+1}{x-3}\cdot\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{x+1}{2}\) 

\(M=5\Rightarrow\dfrac{x+1}{2}=5\Rightarrow x+1=10\Rightarrow x=9\left(tm\right)\)

d) \(N=B-A=\dfrac{x+1}{x-3}-\dfrac{2}{x-3}=\dfrac{x-1}{x-3}=\dfrac{x-3+2}{x-3}=1+\dfrac{2}{x-3}\) 

Để N nguyên thì `x - 3∈Ư(2)={1;-1;2;-2}` 

`=>x∈{4;2;5;1}` 

Bài 3:

a: \(P=\left(\dfrac{x-2}{x+2}+\dfrac{x}{x-2}+\dfrac{2x+4}{4-x^2}\right)\cdot\left(1+\dfrac{5}{x-3}\right)\)

\(=\left(\dfrac{x-2}{x+2}+\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{2x+4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\right)\cdot\dfrac{x-3+5}{x-3}\)

\(=\dfrac{\left(x-2\right)^2+x\left(x+2\right)-2x-4}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\cdot\dfrac{x+2}{x-3}\)

\(=\dfrac{x^2-4x+4+x^2+2x-2x-4}{\left(x-2\right)}\cdot\dfrac{1}{x-3}\)

\(=\dfrac{2x^2-4x}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}=\dfrac{2x}{x-3}\)

b: Thay x=-1 vào P, ta được:

\(P=\dfrac{2\cdot\left(-1\right)}{-1-3}=\dfrac{-2}{-4}=\dfrac{1}{2}\)

c: \(P=\dfrac{2}{3}\)

=>\(\dfrac{2x}{x-3}=\dfrac{2}{3}\)

=>\(\dfrac{x}{x-3}=\dfrac{1}{3}\)

=>3x=x-3

=>2x=-3

=>\(x=-\dfrac{3}{2}\left(nhận\right)\)

d: Để P là số tự nhiên thì \(\left\{{}\begin{matrix}2x⋮x-3\\\dfrac{2x}{x-3}>=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x-6+6⋮x-3\\\left[{}\begin{matrix}x>3\\x< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}6⋮x-3\\\left[{}\begin{matrix}x>3\\x< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x-3\in\left\{1;-1;2;-2;3;-3;6;-6\right\}\\\left[{}\begin{matrix}x>3\\x< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\in\left\{4;2;5;1;6;0;9;-3\right\}\\\left[{}\begin{matrix}x>3\\x< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

=>\(x\in\left\{4;5;6;9;-3\right\}\)

e: \(P=\dfrac{2x}{x-3}=\dfrac{2x-6+6}{x-3}=2+\dfrac{6}{x-3}\)

Để P là số nguyên lớn nhất thì x-3=1

=>x=4

a: Trên tia Ox, ta có: OA<OB

nên A nằm giữa O và B

=>OA+AB=OB

=>AB+4=8

=>AB=4(cm)

Vì A nằm giữa O và B

và OA=AB=4cm

nên A là trung điểm của OB

b: Vì OM và OA là hai tia đối nhau

nên O nằm giữa M và A

=>MA=MO+OA=2+4=6cm

Vì OM và OB là hai tia đối nhau

nên O nằm giữa M và B

=>MB=MO+OB=2+8=10cm

=>MA<MB

Bài 2:

a) ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-4\ne0\\2x+4\ne0\\x^2-4\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\ne\pm2\)  

b) \(A=\dfrac{x}{2x-4}-\dfrac{x-2}{2x+4}+\dfrac{8}{x^2-4}\)

\(=\dfrac{x}{2\left(x-2\right)}-\dfrac{x-2}{2\left(x+2\right)}+\dfrac{8}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\)

\(=\dfrac{x\left(x+2\right)}{2\left(x+2\right)\left(x-2\right)}-\dfrac{\left(x-2\right)^2}{2\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\dfrac{16}{2\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\)

\(=\dfrac{x^2+2x-x^2+4x-4+16}{2\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\)

\(=\dfrac{6x+12}{2\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\)

\(=\dfrac{6\left(x+2\right)}{2\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\)

\(=\dfrac{3}{x-2}\)

Thay `x=-4` vào A ta có:

\(A=\dfrac{3}{-4-2}=\dfrac{3}{-6}=-\dfrac{1}{2}\)

c) \(A=\dfrac{3}{x-2}\)

Để A nguyên thì 3 ⋮ x - 2

`=>x-2∈Ư(3)={1;-1;3;-3}`

`=>x∈{3;1;5;-1}` 

bài 1:

a: ĐKXĐ: \(x\notin\left\{0;2\right\}\)

\(A=\dfrac{2x^3-4x^2}{3x^2-6x}=\dfrac{2x^2\left(x-2\right)}{3x\left(x-2\right)}=\dfrac{2x^2}{3x}=\dfrac{2x}{3}\)

b: 

ĐKXĐ: \(\left(a-1\right)^2+b^2>0\)

\(B=\dfrac{2a+2b-2}{\left(a-1\right)^2-b^2}\)

\(=\dfrac{2\left(a+b-1\right)}{\left(a-1-b\right)\left(a-1+b\right)}\)

\(=\dfrac{2}{a-b-1}\)

c:

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ne-1\\y\ne-x\end{matrix}\right.\)

 \(C=\dfrac{x^2-xy+x-y}{x^2+xy+x+y}\)

\(=\dfrac{x\left(x-y\right)+\left(x-y\right)}{x\left(x+y\right)+\left(x+y\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+1\right)}{\left(x+y\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{x-y}{x+y}\)

d:

ĐKXĐ: \(x\notin\left\{-2;1\right\}\)

 \(D=\dfrac{x^2-5x+4}{x^2+x-2}\)

\(=\dfrac{\left(x-1\right)\left(x-4\right)}{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}\)

\(=\dfrac{x-4}{x+2}\)

a) \(A=\dfrac{3}{3\cdot9}+\dfrac{3}{9\cdot15}+...+\dfrac{3}{597\cdot603}\)

\(=\dfrac{3}{6}\cdot\left(\dfrac{6}{3\cdot9}+\dfrac{6}{9\cdot15}+...+\dfrac{6}{597\cdot603}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{15}+...+\dfrac{1}{597}-\dfrac{1}{603}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{603}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{200}{603}\)

\(=\dfrac{100}{603}\)

b) \(B=\dfrac{5}{1\cdot9}+\dfrac{5}{9\cdot17}+...+\dfrac{5}{793\cdot801}\)

\(=\dfrac{5}{8}\cdot\left(\dfrac{8}{1\cdot9}+\dfrac{8}{9\cdot17}+...+\dfrac{5}{793\cdot801}\right)\)

\(=\dfrac{5}{8}\cdot\left(1-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{17}+...+\dfrac{1}{793}-\dfrac{1}{801}\right)\)

\(=\dfrac{5}{8}\cdot\left(1-\dfrac{1}{801}\right)\)

\(=\dfrac{5}{8}\cdot\dfrac{800}{801}\)

\(=\dfrac{500}{801}\)

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

\(\widehat{ABC}\) chung

Do đó: ΔABC~ΔHBA

b: Ta có: BC=HB+HC

=>BC=4+9=13(cm)

Ta có: ΔABC~ΔHBA

=>\(\dfrac{BA}{BH}=\dfrac{BC}{BA}\)

=>\(BA^2=BH\cdot BC=4\cdot13=52\)

=>\(BA=2\sqrt{13}\left(cm\right)\)

Xét ΔHBA vuông tại H và ΔHAC vuông tại H có

\(\widehat{HBA}=\widehat{HAC}\left(=90^0-\widehat{ACB}\right)\)

Do đó: ΔHBA~ΔHAC

=>\(\dfrac{HB}{HA}=\dfrac{HA}{HC}\)

=>\(HA^2=HB\cdot HC=4\cdot9=36\)

=>\(HA=\sqrt{36}=6\left(cm\right)\)

Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>DE=AH

mà AH=6cm

nên DE=6(cm)

Số học sinh còn lại là: 

\(40-5=35\) (học sinh) 

Tỉ số phần trăm giữa số học sinh tốt và số học sinh còn lại là:

\(5\times100\%:35=\dfrac{100}{7}\%\)

ĐS: ... 

\(1\dfrac{1}{4}=1+\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}\)

Ta dùng pp quy nạp 

Với \(n=0\) ta có \(10^0+9\cdot0-28=-27\) ⋮ 27 (đúng) 

Giả sử đúng với \(n=k\) hay \(10^k-9k-28\) ⋮ 27 

Ta cần chứng minh đúng với \(n=k+1\) ta có:

\(10^{k+1}-9\left(k+1\right)-28\) 

\(=10^k\cdot10-9k-9-28\)

\(=10^k\cdot\left(1+9\right)-9k-9-28\)

\(=\left(10^k-9k-28\right)+9\cdot10^k-9\)

\(=\left(10^k-9k-28\right)+9\left(10^k-1\right)\)

Ta có:  

\(10^k-9k-28\) ⋮ 27 (điều giả sử) (1) 

\(10^k=\overline{10...0}\) (k số 0) 

\(\Rightarrow10^k-1=\overline{99...9}\) (k số 9) ⋮ 9  

\(\Rightarrow9\left(10^k-1\right)\) ⋮ 81 hay \(9\left(10^k-1\right)\) ⋮ 27 (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left(10^k-9k-28\right)+9\left(10^k-1\right)\) ⋮ 27 

⇒ \(10^{k+1}-9\left(k+1\right)-28\) ⋮ 27 (đúng) 

Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm