Toán

Lời giải:

Đặt \((x,y,z)=(2a,b,2c)\Rightarrow a,b,c\in\left [ 0;1 \right ]\)

Bằng cách dự đoán điểm rơi, ta sẽ đi chứng minh $P\leq 2$, tức là CM:

\(P=(1-a)(1-b)(2-c)+\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}\leq 2\). Thật vậy.

AM-GM cho bộ $1-a,1-b,a+b+1$ dương, ta có:

\(3=1-a+1-b+a+b+1\geq 3\sqrt[3]{(1-a)(1-b)(a+b+1)}\)

\(\Rightarrow (1-a)(1-b)(a+b+1)\leq 1\rightarrow (1-a)(1-b)(2-c)\leq \frac{2-c}{a+b+1}\)

Cần CM: \(\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{2}{a+b+1}\leq 2\)\(\Leftrightarrow \frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}\leq \frac{2a+2b}{a+b+1}\)

Hiển nhiên đúng vì \(b+c+1,a+c+1>\frac{a+b+1}{2}\forall a,b,c\in [0;1]\)

Vậy \(P_{max}=2\Leftrightarrow a=b=0;c\in [0;1]\)

Giải:

Kẻ hình chữ nhật \(ABCH\)

Dễ dàng tính được các độ dài: \(BD=\sqrt{10}a;BC=\sqrt{3}a,DC=\sqrt{7}a\)

\(\Rightarrow DC\perp BC\)

Ta có \(\left\{\begin{matrix} AH\perp AB\\ DA\perp AB\end{matrix}\right.\Rightarrow AB\perp (ADH)\rightarrow AB\perp DH\)

Tương tự do \(DC\perp BC,BC\perp HC\) nên \(DH\perp BC\)

\(\Rightarrow DH\perp (ABCH)\)

Theo hệ thức Pitago: \(DH=\sqrt{AD^2-AH^2}=\sqrt{6}a\)

Do đó thể tích \(ABCD\) là : \(V=\frac{S_{ABC}.DH}{3}=\frac{AB.BC.DH}{6}=\frac{\sqrt{2}a^3}{2}\)

Lời giải:

Giả sử tiếp điểm có hoành độ $x_0$. Phương tình tiếp tuyến tại tiếp điểm là:

\(y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=\frac{-x}{(x_0-1)^2}+\frac{2x_0^2-2x_0+1}{(x_0-1)^2}\) (\(\Delta\))

Khoảng cách từ \(\Delta\) đến \(I(1,2)\) là :

\(d=\frac{\left | \frac{-1}{(x_0-1)^2}-2+\frac{2x_0^2-2x_0+1}{(x_0-1)^2} \right |}{\sqrt{\frac{1}{(x_0-1)^4}+1}}=\sqrt{2}\Rightarrow x_0\in\left \{0;2 \right \}\)

Do đó có 2 PTTT là:\(\left\{\begin{matrix}y=-x+1\\ y=-x+5\end{matrix}\right.\)

Đk:\(-8\le x\le8\)

\(pt\Leftrightarrow\sqrt{8-x}+\sqrt{8+x}+\sqrt{\left(8+x\right)\left(8-x\right)}=4\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix}a=\sqrt{8-x}\ge0\\b=\sqrt{8+x}\ge0\end{matrix}\right.\) ta có:

\(a+b+ab=4\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}a=0\\b=4\end{matrix}\right.\) và \(\left\{\begin{matrix}a=4\\b=0\end{matrix}\right.\) \(\left(a,b\ge0\right)\)

Với \(\left\{\begin{matrix}a=0\\b=4\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[\begin{matrix}\sqrt{8-x}=0\\\sqrt{8+x}=4\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[\begin{matrix}8-x=0\\8+x=16\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x=8\) (thỏa mãn)

Với \(\left\{\begin{matrix}a=4\\b=0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[\begin{matrix}\sqrt{8-x}=4\\\sqrt{8+x}=0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[\begin{matrix}8-x=16\\8+x=0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x=-8\)(thỏa mãn)

Vậy pt trên có nghiệm là \(\left[\begin{matrix}x=8\\x=-8\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

Ta đi CM BĐT phụ sau: \(\frac{x}{x^2+1}\leq \frac{18x}{25}+\frac{3}{50}\). \((\star)\)

\(\Leftrightarrow \) \((4x+3)(3x-1)^2\geq 0\) (đúng với mọi $x$ dương)

Do đó $(\star)$ luôn đúng. Thiết lập các BĐT tương tự với $y,z$ rồi cộng lại, ta thu được \(\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\leq \frac{18}{25}+\frac{9}{50}=\frac{9}{10}\) (đpcm)

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

a)

Trên tia My vì MO < MN ( 28mm < 56mm)

=> Điểm O nằm giữa hai điểm M, N

b)

Trên tia My vì điểm O nằm giữa hai điểm M,N

Nên: MO + ON = MN

28 + ON = 56

ON = 56 - 28

ON = 28 mm

Vậy: MO = 28mm ; ON = 28mm

Nên: MO = ON ( 28mm = 28mm)

c)

Trên tia My vì \(MO=ON=\frac{MN}{2}=\frac{56}{2}=28mm\)

Nên điểm O là trug điểm của đoạn thẳng MN

a/ Vì trên tia My có ba điểm M,O,N thẳng hàng ( O,N \(\in\) My), mà MO<MN ( 28mm<56mm) nên điểm O nằm giữa hai điểm M và N.

b/ Vì điểm O nằm giữa hai điểm O và N nên ta có:

MO+ON=MN

hay \(28+ON=56\)

\(\Rightarrow ON=56-28=28\left(mm\right)\)

Vậy \(MO=ON=28mm\) .

c/ Vì điểm O nằm giữa hai điểm M , N (1) và MO=ON=\(\frac{MN}{2}=\frac{56}{2}=28\left(mm\right)\)nên điểm O là trung điểm của đoạn thẳng MN.

a. Trong ba điểm M ,O,N điểm O nằm giữa 2 điểm còn lại

b.Vì O nằm giữaM và N nên ta có:

MO+ON=MN

28+ON=56.Nên ON =56-28=28

Vì 28=28,nên MO=ON

c.Vì MO=ON và MO=MN/2=56/2 .Nên O là trung điểm của MN

Câu 1:

Ta có \(\int \frac{dx}{x^4+1}=\frac{1}{2}\int \left ( \frac{x^2+1}{x^4+1}-\frac{x^2-1}{x^4+1} \right )dx=\frac{1}{2}\int \frac{1+\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}dx+\frac{1}{2}\int \frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}dx\)

\(\frac{1}{2}\int \frac{d\left ( x-\frac{1}{x} \right )}{x^2+\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{2}\int \frac{d\left ( x+\frac{1}{x} \right )}{x^2+\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{2}\int \frac{d(x-\frac{1}{x})}{(x-\frac{1}{x})^2+2}+\frac{1}{2}\int \frac{d(x+\frac{1}{2})}{(x+\frac{1}{x})^2-2}\)

Đặt \(x-\frac{1}{x}=a,x+\frac{1}{x}=b\Rightarrow A=\frac{1}{2}\int \frac{da}{a^2+2}+\frac{1}{2}\int \frac{db}{b^2-2}\)

Bằng cách đặt \(a=\sqrt{2}\tan u (-\frac{\pi}{2}< u<\frac{\pi}{2})\)

\(\Rightarrow \frac{1}{2}\int \frac{da}{a^2+2}=\frac{\sqrt{2}}{4}\tan^{-1}\left (\frac{a}{\sqrt{2}} \right)+c\)

\(\frac{1}{2}\int \frac{db}{b^2-2}=\frac{1}{4\sqrt{2}}\int \left (\frac{1}{b-\sqrt{2}}-\frac{1}{b+\sqrt{2}} \right)db\)\(=\frac{1}{4\sqrt{2}}\ln|\frac{b-\sqrt{2}}{b+\sqrt{2}}|+c\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{2\sqrt{2}}\tan^{-1} \left (\frac{x^2-1}{\sqrt{2}x} \right)-\frac{1}{4\sqrt{2}}\ln|\frac{x^2-\sqrt{2}x+1}{x^2+\sqrt{2}x+1}|+c\)

Awn, chúc mừng năm mới!

Câu 2:

\(B=\int \frac{x^4+1}{x^6+1}=\int\frac{(x^2+1)^2-2x^2}{(x^2+1)(x^4-x^2+1)}dx=\int\frac{x^2+1}{x^4-x^2+1}dx-2\int \frac{x^2dx}{(x^3)^2+1}\)

\(\int\frac{1+\frac{1}{x^2}}{x^2-1+\frac{1}{x^2}}dx-\frac{2}{3}\int\frac{d(x^3)}{(x^3)^2+1}=\int\frac{d\left (x-\frac{1}{x} \right)}{\left (x-\frac{1}{x}\right)^2+1}-\frac{2}{3}\int\frac{d(x^3)}{(x^3)^2+1}\)

Đặt \(x-\frac{1}{x}=a, x^3=b\). Cần tính \(B=\int\frac{da}{a^2+1}-\frac{2}{3}\int\frac{db}{b^2+1}\)

Đến đây bài toán trở về dạng quen thuộc . Đặt \(a=\tan u, b=\tan v\)

\(\Rightarrow B=\tan ^{-1}\left (x-\frac{1}{x}\right)-\frac{2}{3}\tan^{-1}(x^3)+c\)

Câu 3:

\(C=\int\frac{x^3-x^2-4x-1}{x^3(x+1)}dx=\int \frac{dx}{x+1}-\int\frac{dx}{x(x+1)}-\int\frac{4dx}{x^3}+\int\frac{3}{x^3(x+1)}\)

Tính riêng lẻ từng phần :)

\(\int\frac{dx}{x+1}=\ln|x+1|;\int\frac{dx}{x(x+1)}=\int \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right )dx=\ln |x|-\ln|x+1|\)

\(\int\frac{4dx}{x^3}=\frac{-2}{x^2}\)

\(\int\frac{3}{x^3(x+1)}=\int \frac{3}{x^2}\left ( \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} \right )dx=\int \frac{3dx}{x^3}-\int \frac{3dx}{x^2}+\int \frac{3dx}{x}-\int \frac{3dx}{x+1}=\frac{-3}{2x^2}+ \frac{3}{x}+3\ln|x|-3\ln|x+1|\)Suy ra \(C=2\ln|x|-\ln|x+1|+\frac{1}{2x^2}+\frac{3}{x}+c\)

Xong.

P/s: Đùa chứ bạn đào đâu ra toàn bài khoai @@

1)Đặt \(1+2x=t\Leftrightarrow x=\frac{t-1}{2}; dx=\frac{dt}{2}.\)

\(I_1=\frac{1}{4}\int\frac{t-1}{t^3}dt=\frac{1}{4}\int\left(\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t^3}\right)dt=...\)

2) \(\int\frac{1-x^2}{x+x^3}dx=\int\left(\frac{1}{x}-\frac{2x}{1+x^2}\right)dx=\int\frac{dx}{x}-\int\frac{d\left(1+x^2\right)}{1+x^2}=...\)

a)\(\int \sin ^2\left (\frac{x}{2}\right)dx=\int \frac{1-\cos x }{2}dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin x}{2}+c\)

b)\(\int \cos ^2 \left (\frac{x}{2}\right)dx=\int \frac{1+\cos x}{2}dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin x}{2}+c\)

c) \(\int \frac{(2x+1)dx}{x^2+x+5}=\int \frac{d(x^2+x+5)}{x^2+x+5}=ln(x^2+x+5)+c\)

d)\(\int (2\tan x+ \cot x)^2dx=4\int \tan ^2 x+\int \cot^2 x+4\int dx=4\int \frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}dx+\int \frac{1-\sin^2 x}{\sin^2 x}dx+4\int dx \)\( =4\int d(\tan x)-\int d(\cot x)-\int dx=4\tan x-\cot x-x+c\)

\(\left(1.x+9.\frac{1}{y}\right)^2\le\left(1^2+9^2\right)\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\Rightarrow\sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+\frac{9}{y}\right)\)

\(TT:\sqrt{y^2+\frac{1}{z^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+\frac{9}{z}\right);\sqrt{z^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(z+\frac{9}{x}\right)\)

\(S\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\right)\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z+\frac{81}{x+y+z}\right)\)

\(=\frac{1}{\sqrt{82}}\left[\left(x+y+z+\frac{1}{x+y+z}\right)+\frac{80}{x+y+z}\right]\ge\sqrt{82}\)