Hỏi đáp môn Toán

e)

\((x^2+5x+6)(x^2-15x+56)-144\)

\(=(x+2)(x+3)(x-8)(x-7)-144\)

\(=[(x+2)(x-7)][(x+3)(x-8)]-144\)

\(=(x^2-5x-14)(x^2-5x-24)-144\)

\(=a(a-10)-144=a^2-10a-144\) (đặt \(x^2-5x-14=a\))

\(=(a-18)(a+8)=(x^2-5x-32)(x^2-5x-6)\)

\(=(x^2-5x-32)(x-6)(x+1)\)

g)

\((x^2-11x+28)(x^2-7x+10)-72\)

\(=(x-7)(x-4)(x-2)(x-5)-72\)

\(=[(x-7)(x-2)][(x-4)(x-5)]-72\)

\(=(x^2-9x+14)(x^2-9x+20)-72\)

\(=a(a+6)-72\) (Đặt \(x^2-9x+14=a\) )

\(=a^2+6a-72=(a-6)(a+12)\)

\(=(x^2-9x+8)(x^2-9x+26)\)

\(=(x-1)(x-8)(x^2-9x+26)\)

c)

\((4x+1)(12x-1)(3x+2)(x+1)-4\)

\(=[(4x+1)(3x+2)][(12x-1)(x+1)]-4\)

\(=(12x^2+11x+2)(12x^2+11x-1)-4\)

\(=(a+2)(a-1)-4\) (đặt \(a=12x^2+11x\) )

\(=a^2+a-6=(a-2)(a+3)\)

\(=(12x^2+11x-2)(12x^2+11x+3)\)

d)

\((x+2)(x+3)^2(x+4)-12\)

\(=[(x+2)(x+4)](x+3)^2-12\)

\(=(x^2+6x+8)(x^2+6x+9)-12\)

\(=a(a+1)-12\) (Đặt \(x^2+6x+8=a\) )

\(=a^2+a-12=(a-3)(a+4)=(x^2+6x+5)(x^2+6x+12)\)

\(=(x+1)(x+5)(x^2+6x+12)\)

Gọi thời điểm hai xe gặp nhau là x (x>8,4)

Thời gian hai xe gặp nhau kể từ khi xe ô tô xuất phát: \(x-8,4\)

Quãng đường xe máy đi sau 24' : 35.0,4 = 14(km)

Khoảnh cách hai xe kể từ khi xe 2(từ B) xuất phát: 90 - 14 = 76(km)

Ta có PT: \(\left(x-8,4\right)\left(35+45\right)=76\)

=> x = 9,35 (tm)

Hay thời điểm hai xe gặp nhau là: 9 giờ 21'

Ầy... hai cách làm khác nhau 1 trời 1 vực. Haizz... mình nhu dạng này lắm lắm luôn. Theo như mình thấy thì bạn đầu làm đáp số đúng á!

Lời giải:
Bạn chú ý lần sau gõ đề bài bằng công thức toán. Việc gõ đề thiếu/ sai/ không đúng công thức khiến người sửa rất mệt.

a) Theo hằng đẳng thức đáng nhớ:

\(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-\left(\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}\right)}\)

\(\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-\frac{2(a+b+c)}{abc}}=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-0}\) (do $a+b+c=0$)

\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}=|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}|\)

b) Theo điều kiện đề bài:

\(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{b^2+c^2}{b^2c^2}}=\sqrt{\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{b^2+c^2+2bc}{b^2c^2}-\frac{2}{bc}}\)

\(=\sqrt{\frac{1}{(b+c)^2}+(\frac{b+c}{bc})^2-\frac{2}{bc}}=\sqrt{(\frac{1}{b+c}-\frac{b+c}{bc})^2}=\left|\frac{1}{b+c}-\frac{b+c}{bc}\right|\)

Vì \(a,b,c\in\mathbb{Q}\Rightarrow \)\(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\left|\frac{1}{b+c}-\frac{b+c}{bc}\right|\in\mathbb{Q}\)

Ta có đpcm.

c) Đặt \((a-b,b-c,c-a)=(x,y,z)\)

Vì $a,b,c\in\mathbb{Q}$ nên $x,y,z\in\mathbb{Q}$

$x+y+z=(a-b)+(b-c)+(c-a)=0$. Khi đó

\(\sqrt{\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}}=\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}=|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}|\) theo kết quả phần a.

Mà \(x,y,z\in\mathbb{Q}\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}}=|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}|\in\mathbb{Q}\) 

Ta có đpcm.

d) Với $ab+bc+ac=1$ ta có:

\(a^2+1=a^2+ab+bc+ac=a(a+b)+c(b+a)=(a+c)(a+b)\)

Tương tự:

\(b^2+1=b^2+bc+ab+ac=(b+a)(b+c)\)

\(c^2+1=c^2+ac+bc+ab=(c+a)(c+b)\)

Do đó:

\(A=\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}=\sqrt{(a+b)(a+c)(b+c)(b+a)(c+a)(c+b)}\)

\(=\sqrt{[(a+b)(b+c)(c+a)]^2}=|(a+b)(b+c)(c+a)|\) là số hữu tỉ do $a,b,c$ là số hữu tỉ.

Lời giải:

ĐKXĐ: \(x\geq \frac{6}{5}\)

PT \(\Leftrightarrow 2(x+1)\sqrt{5x-6}=(x+1)^2+5x-6-1\)

\(\Leftrightarrow (x+1)^2+(5x-6)-2(x+1)\sqrt{5x-6}-1=0\)

\(\Leftrightarrow (x+1-\sqrt{5x-6})^2-1=0\)

\(\Leftrightarrow (x+2-\sqrt{5x-6})(x-\sqrt{5x-6})=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x+2=\sqrt{5x-6}\\ x=\sqrt{5x-6}\end{matrix}\right.\)

Nếu \(x+2=\sqrt{5x-6}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -2\\ (x+2)^2=5x-6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -2\\ x^2-x+10=0\end{matrix}\right.\) (dễ thấy vô nghiệm)

Nếu \(x=\sqrt{5x-6}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ x^2=5x-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ x^2-5x+6=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ (x-2)(x-3)=0\end{matrix}\right.\Rightarrow x=2; x=3\) là nghiệm của PT

Vậy.......

hỏi thật đấy ạ ,link sinh hoạt ở đâu thế cho em xin đc k ạ -_-

do em đau đầu quá nên mới bỏ mấy câu còn lại nha

Cảm ơn @Quoc Tran Anh Le đã tổ chức cuộc thi này.

Thầy sẽ nhắn tin cho các bạn được giải để trao thưởng.

Sao chưa thấy ai gửi thẻ cào??

Câu 1:

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(P=\frac{1}{x^2+2y^2+3}+\frac{1}{y^2+2z^2+3}+\frac{1}{z^2+2x^2+3}=\frac{1}{(x^2+y^2)+(y^2+1)+2}+\frac{1}{(y^2+z^2)+(z^2+1)+2}+\frac{1}{(z^2+x^2)+(x^2+1)+2}\)

\(\leq \frac{1}{2xy+2y+2}+\frac{1}{2yz+2z+2}+\frac{1}{2zx+2x+2}\)

hay \(P\leq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}\right)(1)\)

Do $xyz=1$ nên:

\(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}=\frac{1}{xy+y+1}+\frac{xy}{xy.yz+xyz+xy}+\frac{y}{yzx+yx+y}\)

\(=\frac{1}{xy+y+1}+\frac{xy}{y+1+xy}+\frac{y}{1+yx+y}=\frac{1+xy+y}{1+xy+y}=1(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow P\leq \frac{1}{2}.1=\frac{1}{2}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

Câu 3:

Áp dụng BĐT Cauchy:

\(b\leq |b|\leq \frac{b^2+1}{2}\Rightarrow \frac{a^2+1}{1+b+c^2}\geq \frac{a^2+1}{c^2+1+\frac{b^2+1}{2}}\). Tương tự với các phân thức còn lại:

\(\text{VT}=\frac{a^2+1}{1+b+c^2}+\frac{b^2+1}{1+c+a^2}+\frac{c^2+1}{1+a+b^2}\geq \frac{a^2+1}{\frac{b^2+1}{2}+c^2+1}+\frac{b^2+1}{\frac{c^2+1}{2}+a^2+1}+\frac{c^2+1}{\frac{a^2+1}{2}+b^2+1}\)

Đặt \((a^2+1,b^2+1,c^2+1)=(x,y,z)(x,y,z>0)\)

\(\text{VT}\geq \frac{x}{\frac{y}{2}+z}+\frac{y}{\frac{z}{2}+x}+\frac{z}{\frac{x}{2}+y}=2\left(\frac{x}{y+2z}+\frac{y}{z+2x}+\frac{z}{x+2y}\right)(1)\)

Cauchy-Schwarz:

\(\frac{x}{y+2z}+\frac{y}{z+2x}+\frac{z}{x+2y}=\frac{x^2}{xy+2xz}+\frac{y^2}{yz+2xy}+\frac{z^2}{xz+2yz}\geq \frac{(x+y+z)^2}{3(xy+yz+xz)}\geq \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2}=1(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \text{VT}\geq 2\) (đpcm)

Bài 3:

a) ĐK: \(x\geq 3 \) hoặc \(x\leq -3\)

Ta thấy: \(\sqrt{x^2-9}\geq 0; \sqrt{x^2-6x+9}\geq 0\) với mọi $x$ thuộc ĐKXĐ

Do đó, để \(\sqrt{x^2-9}+\sqrt{x^2-6x+9}=0\) thì:

\(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2-9}=0\\ \sqrt{x^2-6x+9}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{(x-3)(x+3)}=0\\ \sqrt{(x-3)^2}=0\end{matrix}\right.\Rightarrow x=3\)

b) ĐK: \(x\in\mathbb{R}\)

PT \(\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)^2}+\sqrt{(x-2)^2}=3\)

\(\Leftrightarrow |x-1|+|x-2|=3\)

Xét TH để phá trị tuyệt đối:

Nếu \(x\geq 2\) thì: \(x-1+x-2=3\Rightarrow x=3\) (t/m)

Nếu \(x<1 \) thì \(1-x+2-x=3\Rightarrow x=0\) (t/m)

Nếu \(1\leq x< 2\) thì: \(x-1+2-x=3\Leftrightarrow 1=3\) (vô lý)

Vậy $x=3,x=0$

Lời giải:

a)

PT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4-x\geq 0\\ x^2-6x+9=(4-x)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 4\\ x^2-6x+9=x^2-8x+16\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 4\\ 2x=7\end{matrix}\right.\Rightarrow x=\frac{7}{2}\)

b) ĐK: \(x\geq \frac{3}{2}\)

PT \(\Leftrightarrow \sqrt{(2x-3)+2\sqrt{2x-3}+1}+\sqrt{(2x-3)+8\sqrt{2x-3}+16}=5\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{2x-3}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{2x-3}+4)^2}=5\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{2x-3}+1+\sqrt{2x-3}+4=5\)

\(\Leftrightarrow 2\sqrt{2x-3}=0\Rightarrow \sqrt{2x-3}=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}\)

Nguyễn Việt Lâm

Chị Akai Haruma giúp e ạ

em tag tên thành viên hiện tại nhé: zZz Cool Kid zZz , Luân Đào, Tạ Hữu Việt, Phung Minh Quan,Thảo Nguyễn Phạm Phương , Điều Gì Đó , svtkvtm, $Mr.VôD\mathrm{anh,}$duongtiendung, Nguyễn Trần Nhã Anh, Incursion_03, Dung Hoàng Dung, Nguyễn Trúc Giang, Nguyen, Nguyễn Văn Đạt, Phạm Thị Thùy Linh, 응웬 티 하이,Hoàng Nguyên Hiếu, Viêm Nguyên Động, Dong tran le, Đoàn Gia Khánh, khongbietem!, Nguyễn Ngọc Linh Châu, Arakawa Whiter, Han Ji Yoo, kayuha, Phùng Tuệ Minh, Nhóc Ngốc

Thông báo danh sách các bạn trong câu lạc bộ toán

Nếu bạn nào có thắc mắc gì hoặc muốn đổi team thì liên hệ với BCN thời hạn thay đôỉ là hết ngày mai

~ Thân ~

Xem đề vòng 3, cảm thấy các vòng trước như một trò đùa =))

a ơi cho e hỏi ạ

bài 8 "today" tính là ngày nào ạ ?

Gọi x km là chiều dài quãng đường AB (x>0).
Thời gian dự định đi: \(\dfrac{x}{48}\) (h).
Độ dài quãng đường còn phải đi: x - 48 (km)
Vận tốc mới: 48 + 6 = 54 (km/h)
Thời gian còn phải đi cho kịp dự tính:\(\dfrac{x-48}{54}\) (h)
10 phút = \(\dfrac{1}{6}\) (h)
Vì khi tăng vận tốc ô tô đã đến B kịp dự định nên
1 + \(\dfrac{1}{6}+\dfrac{x-48}{54}=\dfrac{x}{48}\)
\(\Leftrightarrow x=120\) (t/m)
=> Quãng đường AB dài 120 km

Gọi t là thời gian người đó đi từ A đến B

Ta có phương trình:

48t= 48+54(t-1-1/6)

Từ phương trình trên bạn sẽ tính được thời gian là 2.5(h).

Từ đó bạn sẽ dễ dàng tính được quãng đường AB bằng 120km

Lời giải:

Để ý rằng:

\((ac+bd)^2=a^2c^2+b^2d^2+2acbd\)

\(=(a^2+b^2)(c^2+d^2)-a^2d^2-b^2c^2+2adbc\)

\(=(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(a^2d^2+b^2c^2-2adbc)\)

\(=(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ad-bc)^2\)

Thay số liệu đề bài ta có:

\(2384^2=4282.1658-F^2\)

\(\Leftrightarrow F^2=1416100\)

\(\Rightarrow F=\pm 1190\)

4.

ĐKXĐ: \(x\geq \frac{3}{4}\)

\(x-\sqrt{4x-3}=2\)

\(\Leftrightarrow (x-7)-(\sqrt{4x-3}-5)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-7)-\frac{4x-3-5^2}{\sqrt{4x-3}+5}=0\)

\(\Leftrightarrow (x-7)-\frac{4(x-7)}{\sqrt{4x-3}+5}=0\)

\(\Leftrightarrow (x-7)\left(1-\frac{4}{\sqrt{4x-3}+5}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-7).\frac{\sqrt{4x-3}+1}{\sqrt{4x-3}+5}=0\)

Dễ thấy \(\frac{\sqrt{4x-3}+1}{\sqrt{4x-3}+5}>0, \forall x\geq \frac{3}{4}\Rightarrow \frac{\sqrt{4x-3}+1}{\sqrt{4x-3}+5}\neq 0\)

Do đó: \(x-7=0\Leftrightarrow x=7\) là nghiệm duy nhất của pt

5.

ĐKXĐ: \(x\geq \frac{-15}{2}\)

\(x+\sqrt{2x+15}=0\Leftrightarrow \sqrt{2x+15}=-x\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} -x\geq 0\\ 2x+15=x^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 0\\ x^2-2x-15=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 0\\ (x-5)(x+3)=0\end{matrix}\right.\Rightarrow x=-3\)

Vậy..........

6. ĐKXĐ: \(x^2-6x+7\geq 0\)

PT \(\Leftrightarrow (x^2-6x+7)+\sqrt{x^2-6x+7}-12=0\)

Đặt \(\sqrt{x^2-6x+7}=a(a\geq 0)\) thì pt trở thành:

\(a^2+a-12=0\)

\(\Leftrightarrow (a-3)(a+4)=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} a=3\\ a=-4\end{matrix}\right.\)

Vì $a\geq 0$ nên $a=3$

\(\Leftrightarrow \sqrt{x^2-6x+7}=3\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x+7=9\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x-2=0\Rightarrow x=3\pm \sqrt{11}\) (đều thỏa mãn)

Vậy........

2.

ĐKXĐ: \(x\geq -2\)

Ta có : \(\sqrt{x+9}=5-\sqrt{2x+4}\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{x+9}-3)+(\sqrt{2x+4}-2)=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{x+9}+3}+\frac{2x}{\sqrt{2x+4}+2}=0\) (liên hợp)

\(\Leftrightarrow x(\frac{1}{\sqrt{x+9}}+\frac{2}{\sqrt{2x+4}+2})=0\)

Với mọi $x\geq -2$, ta thấy \(\frac{1}{\sqrt{x+9}}+\frac{2}{\sqrt{2x+4}+2}>0\)

\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x+9}}+\frac{2}{\sqrt{2x+4}+2}\neq 0\)

Do đó: \(x=0\) là nghiệm duy nhất của PT

3. ĐKXĐ: \(x\geq -1\)

\(x^2+\sqrt{x+1}=1\)

\(\Leftrightarrow (x^2-1)+\sqrt{x+1}=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)(x+1)+\sqrt{x+1}=0\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{x+1}[(x-1)\sqrt{x+1}+1]=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} \sqrt{x+1}=0(1)\\ (x-1)\sqrt{x+1}+1=0(2)\end{matrix}\right.\)

Với \((1)\Rightarrow x=-1\) (thỏa mãn)

Với \((2)\Leftrightarrow (x-1)\sqrt{x+1}=-1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} -1\leq x\leq 1\\ (x-1)^2(x+1)=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -1\leq x\leq 1\\ (x-1)^2(x+1)=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -1\leq x\leq 1\\ x(x^2-x-1)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=0\\ x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(x\in\left\{-1;0;\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right\}\)

Lời giải:

Áp dụng PP tìm điểm rơi và BĐT Cauchy cho các số dương:

\(x^3+\left(\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1}\right)^3+\left(\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1}\right)^3\geq 3x\left(\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1}\right)^2\)

\(y^3+\left(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1}\right)^3+\left(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1}\right)^3\geq 3y\left(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1}\right)^2\)

\(z^3+\left(\frac{1}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1}\right)^3+\left(\frac{1}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1}\right)^3\geq 3z\left(\frac{1}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1}\right)^2\)

Cộng theo vế:

\(P+\frac{2}{(2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1)^2}\geq \frac{3}{(2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1)^2}(2x+3y+z)=\frac{3}{(2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1)^2}\)

\(\Rightarrow P\geq \frac{1}{(2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1)^2}\)

Vậy \(P_{\min}=\frac{1}{(2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1)^2}\)