Hỏi đáp môn Toán

\(x+y+13=2\left(2\sqrt{x}+3\sqrt{y}\right)\)

\(\Leftrightarrow x+y+13-4\sqrt{x}-6\sqrt{y}=0\)

\(\Leftrightarrow x-4\sqrt{x}+4+y-6\sqrt{y}+9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-2\right)^2+\left(\sqrt{y}-3\right)^2=0\)

Xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=2\\\sqrt{y}=3\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=9\end{matrix}\right.\)

Viết mở bài của câu chuyện về cuộc giao chiến của Sơn Tinh và Thuỷ Tinh

Viết mở bài của câu chuyện về cuộc giao chiến của Sơn Tinh và Thuỷ Tinh

bài h qua thì dễ mà t thì đến muộn

Bài nay khó z mak t đến sớm là sao z trời :((

Toán tuổi thơ thì có j hot ?

Điểm I đâu chui ra vậy

2/ Ta có:

\(C_{2n+1}^1+C_{2n+2}^2+...+C_{2n+1}^n=2^{20}-1\)

\(\Leftrightarrow2\left(C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+C_{2n+2}^2+...+C_{2n+1}\right)^n=2^{21}\)

\(\Leftrightarrow C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+C_{2n+2}^2+...+C_{2n+1}^n+...+C_{2n+1}^{2n+1}=2^{21}\)

\(\Leftrightarrow2^{2n+1}=2^{21}\)

\(\Leftrightarrow n=10\)

Ta có số hạng tổng quát trong khai triển của \(\left(\dfrac{1}{x^4}+x^7\right)^{10}\) là:

\(C_{10}^k.\left(\dfrac{1}{x^4}\right)^{10-k}.\left(x^7\right)^k=C_{10}^k.x^{11k-40}\)

Để số hạng chứa \(x^{26}\) thì \(11k-40=26\)

\(\Leftrightarrow k=6\)

Vậy hệ số cần tìm là: \(C_{10}^6\)

1/ Vì M thuộc \(d_3\) nên ta có tọa độ của M là: \(M\left(2a;a\right)\)

Khoản cách từ M đến \(d_1\) là:

\(d\left(M,d_1\right)=\dfrac{\left|2a+a+3\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{\left|3a+3\right|}{\sqrt{2}}\)

Khoản cách từ M đến \(d_2\) là:

\(d\left(M,d_2\right)=\dfrac{\left|2a-a-4\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{\left|a-4\right|}{\sqrt{2}}\)

Theo đề bài ta có:

\(\dfrac{\left|3a+3\right|}{\sqrt{2}}=2.\dfrac{\left|a-4\right|}{\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow\left|3a+3\right|=2.\left|a-4\right|\)

\(\Leftrightarrow a^2+10a-11=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\a=-11\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(2;1\right)\\M\left(-22;-11\right)\end{matrix}\right.\)

Ý tưởng khác

Cũng từ giả thiết suy ra \(xyz=xy+yz+xz\)

Suy ra \(\sqrt{x+yz}=\sqrt{\frac{x^2+xyz}{x}}=\sqrt{\frac{x^2+xy+yz+xz}{x}}=\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{x}}\)

Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có \(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x+\sqrt{yz}\) do đó:

\(\sqrt{x+yz}=\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{x}}\ge\frac{x+\sqrt{yz}}{x}=\sqrt{x}+\sqrt{\frac{yz}{x}}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại \(\sqrt{y+xz}\ge\sqrt{y}+\sqrt{\frac{xz}{y}};\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{z}+\sqrt{\frac{xy}{z}}\)

Cộng theo vế 3 BĐT được \(VT\ge\sqrt{x}+\sqrt{\frac{yz}{x}}+\sqrt{y}+\sqrt{\frac{xz}{y}}+\sqrt{z}+\sqrt{\frac{xy}{z}}\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{xy+yz+xz}{\sqrt{xyz}}\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{xyz}\) (Đpcm)

Ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Leftrightarrow xy+yz+zx=xyz\)

\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)

Bình phương vế trái : 

\(\left(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\right)^2\)

\(=\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)+2\left(\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}+\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}+\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\right)\)Bình phương vế phải : 

\(\left(\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2=\left(xyz+x+y+z\right)+2\left(x\sqrt{yz}+y\sqrt{xz}+z\sqrt{xy}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)

Suy ra cần phải chứng minh : \(\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}+\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}+\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\ge x\sqrt{yz}+y\sqrt{xz}+z\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)(*)

Thật vậy, theo bđt Bunhiacopxki ta có : \(\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}\ge\sqrt{xy}+z\sqrt{xy}\)

\(\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{yz}+x\sqrt{yz}\)

\(\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\ge\sqrt{xz}+y\sqrt{xz}\)

Cộng các bđt trên theo vế ta chứng minh được (*) đúng.

Vậy bđt ban đầu được chứng minh.

Đề sai sửa lại là:

\(x=\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\dfrac{125}{27}}}-\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+\dfrac{125}{27}}}\)

\(\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\dfrac{125}{27}}}+\sqrt[3]{3-\sqrt{9+\dfrac{125}{27}}}\)

\(\Leftrightarrow x^3=3+\sqrt{9+\dfrac{125}{27}}+3-\sqrt{9+\dfrac{125}{27}}+3.\left(\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\dfrac{125}{27}}}+\sqrt[3]{3-\sqrt{9+\dfrac{125}{27}}}\right)\left(\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\dfrac{125}{27}}}.\sqrt[3]{3-\sqrt{9+\dfrac{125}{27}}}\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3=6+3x.\left(\dfrac{-5}{3}\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3+5x-6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+x+6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

Vậy x là số nguyên

Sửa đề:

\(x=\dfrac{\left(\sqrt{5}+2\right)\sqrt[3]{17\sqrt{5}-38}}{\sqrt{5}+\sqrt{14-6\sqrt{5}}}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{5}+2\right)\sqrt[3]{5\sqrt{5}-3.5.2+12\sqrt{5}-8}}{\sqrt{5}+\sqrt{9-6\sqrt{5}+5}}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{5}+2\right)\sqrt[3]{\left(\sqrt{5}-2\right)^3}}{\sqrt{5}+\sqrt{\left(3-\sqrt{5}\right)^2}}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-2\right)}{\sqrt{5}+\left(3-\sqrt{5}\right)}=\dfrac{1}{3}\)

Thế vô A ta được

\(A=\left(3.\dfrac{1}{3^3}+8.\dfrac{1}{3^2}+2\right)^{2018}=3^{2018}\)

Kẽ đường thẳng (d) đi qua A và // với BC. Gọi B' đối xứng với B qua (d).

Ta có:

\(BB'^2=B'C^2-BC^2\le\left(AB'+AC\right)^2-BC^2\)

\(\Leftrightarrow4h_a^2\le\left(b+c\right)^2-a^2\left(1\right)\)

Tương tự ta cũng có:

\(\left\{{}\begin{matrix}4h_b^2\le\left(c+a\right)^2-b^2\left(2\right)\\4h_c^2\le\left(a+b\right)^2-c^2\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được

\(4h_a^2+4h_b^2+4h_c^2\le\left(a+b\right)^2-c^2+\left(b+c\right)^2-a^2+\left(c+a\right)^2-b^2\)

\(\Leftrightarrow4\left(h_a^2+h_b^2+h_c^2\right)\le\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{h_a^2+h_b^2+h_c^2}\ge4\)

Ta có:

\(S=pr=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)

\(\Leftrightarrow p^2r^2=p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\)

\(\Leftrightarrow r^2=\dfrac{\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{p}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{r^2}=\dfrac{p}{\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\dfrac{1}{\left(p-a\right)\left(p-b\right)}+\dfrac{1}{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}+\dfrac{1}{\left(p-c\right)\left(p-a\right)}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{r^2}=4\left(\dfrac{1}{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}+\dfrac{1}{\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}+\dfrac{1}{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{4r^2}=\dfrac{1}{c^2-\left(a-b\right)^2}+\dfrac{1}{a^2-\left(b-c\right)^2}+\dfrac{1}{b^2-\left(c-a\right)^2}\ge\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{r^2\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)}\ge4\left(1\right)\)

Ta lại có:

\(S=\dfrac{ah_a}{2}=pr=\dfrac{r\left(a+b+c\right)}{2}\)

\(\Leftrightarrow h_a=\dfrac{r\left(a+b+c\right)}{a}\)

\(\Leftrightarrow h_a^2=\dfrac{r^2\left(a+b+c\right)^2}{a^2}\left(2\right)\)

Tương tự ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}h_b^2=\dfrac{r^2\left(a+b+c\right)^2}{b^2}\left(3\right)\\h_c^2=\dfrac{r^2\left(a+b+c\right)^2}{c^2}\left(4\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (2), (3), (4) ta có:

\(h_a^2+h_b^2+h_c^2=r^2\left(a+b+c\right)^2\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{h_a^2+h_b^2+h_c^2}=\dfrac{1}{r^2\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)}\ge4\)

Bạn tự vẽ hình:

a) Nhận thấy KD là đường trung bình ứng với AB của tam giác ABC nên:

\(\left\{{}\begin{matrix}KD//AH\\KD=AH\left(=\dfrac{1}{2}AB\right)\end{matrix}\right.\) nên HDKA là hình bình hành

Gọi giao điểm của AD và HK là I thì I là trung điểm của AD,HK(1)

E đối xứng với D qua K nên\(\left\{{}\begin{matrix}DE//AB\\DE=2KD=2.\dfrac{1}{2}AB=AB\end{matrix}\right.\)

=> DEAB là hình bình hanh mà I là trung điểm AD

=> I là trung điểm BE (2)

Từ (1) và (2) ta có: AD,HK,BE đông quy tại I (đpcm)

b)Tam giác ABC vuông tại A nên \(AD=\dfrac{1}{2}BC\)

\(\Leftrightarrow AD^2=\dfrac{1}{4}BC^2\)(3)

\(BK^2=AB^2+AK^2=AB^2+\left(\dfrac{1}{2}AC\right)^2=AB^2+\dfrac{1}{4}AC^2\)(4)

\(CH^2=AC^2+AH^2=AC^2+\left(\dfrac{1}{2}AB\right)^2=AC^2+\dfrac{1}{4}AB^2\)(5)

Từ (3),(4),(5) ta có:

\(\dfrac{BC^2}{AD^2+BK^2+CH^2}\)

\(=\dfrac{BC^2}{\left(\dfrac{1}{4}BC^2\right)+\left(AB^2+\dfrac{1}{4}AC^2\right)+\left(AC^2+\dfrac{1}{4}AB^2\right)}\)

\(=\dfrac{BC^2}{\dfrac{5}{4}\left(AB^2+BC^2\right)+\dfrac{1}{4}BC^2}=\dfrac{BC^2}{\dfrac{5}{4}BC^2+\dfrac{1}{4}BC^2}=\dfrac{2}{3}\)

301 chữ số nha

301

Xét \(\Delta ACH;\Delta BCK\) có

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{C}\left(chung\right)\\\widehat{AHC}=\widehat{BKC}=90^o\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ACH\sim\Delta BCK\)

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{BK}=\dfrac{CH}{CK}\)

\(\Rightarrow AH.CK=BK.CH\)

\(\Rightarrow AH^2.CK^2=BK^2.CH^2\)

\(\Rightarrow AH^2.CK^2=\dfrac{BK^2.BC^2}{4}\)

\(\Rightarrow AH^2.\left(BC^2-BK^2\right)=\dfrac{BK^2.BC^2}{4}\)

Chia cả 2 vế cho: \(AH^2.BC^2.BK^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{BK^2}-\dfrac{1}{BC^2}=\dfrac{1}{4AH^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{4AH^2}\)

đề bài là không dùng máy tính ; hoặc là không khai căn chứ

\(A^2=100.51\)

\(B^2=70^2+2+2.70.\sqrt{2}\)

\(B^2-A^2=70^2-\left(10.7\right)^2+\left(2-2.100\right)+2.70\sqrt{2}\)

\(B^2-A^2=2.70\sqrt{2}-2.99=2\left(70\sqrt{2}-99\right)\)

\(C=70.\sqrt{2};D=99\)

\(C^2=2.70^2\)

\(D^2=99^2=\left(70+29\right)^2\)

\(C^2-D^2=2.70^2-\left(70^2+2.70.29+29^2\right)=70^2-2.70.29-29^2=\left(70-29\right)^2-2.29^2=41^2-2.29^2\)\(C^2-D^2=\left(29+12\right)^2-2.29^2=29^2+12^2+2.29.12=12^2+2.29.12-29^2\)\(C^2-D^2=12^2+2.29.12-12^2-17^2-2.12.17\)\(C^2-D^2=2.12\left(29-17\right)-17^2=2.12^2-17^2\)

\(C^2-D^2=2.12^2-12^2-5^2-2.5.12=12^2-2.5.12-5^2\)

\(C^2-D^2=\left(12-5\right)^2-2.5^2=7^2-2.5^2\)

\(C^2-D^2=5^2+2.2.5+2^2-2.5^2=4.5-5^2+2^2\)

\(C^2-D^2=5\left(4-5\right)+4=4+5.\left(-1\right)=4-5=-1\)

........

=> C^2 -D^2 <0

=>C,D >0

=> C<D => C-D<0

=> B^2 -A^2 <0

A,B >0

=> B<A

kết luận

B<A

\(A=10\sqrt{51}\); \(B=70+\sqrt{2}\)

Ta có: \(A^2=5100\)

\(B^2=4900+140\sqrt{2}+2\)

So sánh \(198\) và \(140\sqrt{2}\) vì vì trừ 2 vế cho 4902.

Ta có: \(198^2=39204\)

\(\left(140\sqrt{2}\right)^2=39200\)

Vậy A > B (đpcm)