Hỏi đáp môn Toán

Lời giải:

Gọi \(D=(a,b,c)\). Tính toán: \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AB}=(2,2,1)\\ \overrightarrow{BC}=(2,-7,1)\\ \overrightarrow{AC}=(4,-5,2)\end{matrix}\right.\)

Thấy \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Rightarrow\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AC}\) nên \(A,B,C,D\) là bốn đỉnh của hình chữ nhật $ABDC$

Ta có \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}\Leftrightarrow (4,-5,2)+(2,2,1)=(a-2,b-1,c+3)\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a-2=6\\ b-1=-3\\ c+3=3\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=8\\ b=-2\\ c=0\end{matrix}\right.\)

@Akai Haruma @Nguyễn Việt Lâm

Vũ Minh TuấnLương Minh HằngNgọc HHồ Bảo TrâmAnh QuanueMinh AnBăng Băng 2k6Thảo PHoàng Tử HàĐỖ CHÍ DŨNGhương

Chắc chưa học đường chéo vậy làm theo cách thông thường nhé.

Gọi khối lượng của axit 5% là m.

Khối lượng của chất tan trong axit 10% là:

\(m\left(10\%\right)=200\cdot10\%=20\left(g\right)\)

Khối lượng của chất tan trong axit 5% là:

\(m\left(5\%\right)=0,05m\left(g\right)\)

Khối lượng của chất tan trong axit 8% là:

\(m\left(8\%\right)=0,08\left(m+200\right)\left(g\right)\)

Ta có:

\(0,08\left(m+200\right)=20+0,05m\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{400}{3}\left(g\right)\)

Tui dùng sơ đồ đường chéo giải toán mấy chế ạ :)) lạc đề :V ra kết quả 400/3 g nhé ...

a)

Xét tam giác AMB và tam giác DMC có:

AM = DM (gt)

AMB = DMC (2 góc đối đỉnh)

MB = MC (M là trung điểm của BC)

=> Tam giác AMB = Tam giác DMC (c.g.c)

b)

=> ABM = DCM (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

=> AB // DC

c)

Xét tam giác IMA vuông tại I và tam giác KMD vuông tại K có:

IMA = KMD (2 góc đối đỉnh)

MA = MD (gt)

=> Tam giác IMA = Tam giác KMD (cạnh huyền - góc nhọn)

=> IM = KM (2 cạnh tương ứng)

Tham khảo nè: Câu hỏi của Trai Vô Đối - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Lời giải:
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+y^2}+2\sqrt{xy}=8\sqrt{2}\\ x+y+2\sqrt{xy}=16(1)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x+y-\sqrt{x^2+y^2}=16-8\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow x+y=16-8\sqrt{2}+\sqrt{x^2+y^2}\)

Mà: \(\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\frac{(x^2+y^2)(1+1)}{2}}\geq \sqrt{\frac{(x+y)^2}{2}}=\frac{x+y}{\sqrt{2}}\) theo BĐT Bunhiacopxky

\(\Rightarrow x+y\geq 16-8\sqrt{2}+\frac{x+y}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow x+y\geq 16\)

Mà từ $(1)\Rightarrow x+y=16-2\sqrt{xy}\leq 16$

Dấu "=" xảy ra khi $2\sqrt{xy}=0\Rightarrow x=0$ hoặc $y=0$

Thay vào hệ ban đầu thấy không thỏa mãn

Vậy không tồn tại $x,y$ thỏa mãn hệ phương trình

s ko tag t :vvvv

Do vai trò của a, b, c như nhau nên ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c = kd, với k là số dương

Khi đó áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta đc

\(\frac{1}{k^2}\left(a^3+b^3+c^2\right)\ge\frac{3abc}{k^2}\\ \frac{a^3}{k^3}+\frac{b^3}{k^3}+d^3\ge\frac{2abd}{k^2}\\ \frac{b^3}{k^3}+\frac{b^3}{k^3}+d^3\ge\frac{3abcd}{k^2}\\ \frac{c^3}{k^3}+\frac{a^3}{k^3}\ge\frac{3cad}{k^2}\)

Cộng hai vế các BĐT trên ta đc:

\(\left(\frac{1}{k^2}+\frac{2}{k^3}\right)\left(a^3+b^3+c^2\right)+3d^3\ge\frac{3\left(abc+abd+bcd+cad\right)}{k^2}=\frac{3}{k^2}\)

Hay \(\left(\frac{3}{k^2}+\frac{6}{k^3}\right)\left(a^3+b^3+c^2\right)+9d^3\ge\frac{9}{k^2}\)

Ta cần tìm k để \(\frac{3}{k^2}+\frac{6}{k^3}=4\Leftrightarrow4k^3-3k-6=0\) và ta chọn k là số dương

Đặt \(k=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\) thay vào phương trình trên và biến đổi ta thu đc

\(x^6-12x^3+1=0\)

Giải phương trình này ta đc \(x=\sqrt[3]{6\pm\sqrt{35}}\), để ý là \(\left(6+\sqrt{35}\right)\left(6-\sqrt{35}\right)=1\)

nên ta tính đc \(k=\frac{\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}}{2}\)

Do đó ta tính đc min của P là \(\frac{36}{\left(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}\right)^2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = \(\frac{\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}}{2}.d>0\)

nho ko nham la de thi khtn

Câu 2:

Nếu như bạn nói những bài toán này được giải theo kiểu đưa về phân tích thành nhân tử thì đề bài của bạn có lẽ sai vì không pt nào trong câu này đưa được về dạng tích. Mình thấy PT(1) có lẽ cần sửa lại thành:

\(x\sqrt{x^2+y}+y=\sqrt{x^4+x^3}+x\)

ĐKXĐ: $x\geq 1; y\geq 0$

Với $x\geq 1; y\geq 0$. Xét PT(1):

\(\Leftrightarrow (x\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^4+x^3})+(y-x)=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{x^2(x^2+y)-(x^4+x^3)}{x\sqrt{x^2+y}+\sqrt{x^4+x^3}}+(y-x)=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{x^2(y-x)}{x\sqrt{x^2+y}+\sqrt{x^4+x^3}}+(y-x)=0\)

\(\Leftrightarrow (y-x)\left[\frac{x^2}{x\sqrt{x^2+y}+\sqrt{x^4+x^3}}+1\right]=0\)

Dễ thấy biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương với mọi $x\geq 1; y\geq 0$ nên $y-x=0\Rightarrow y=x$

Thay vào PT(2):

$x+\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+\sqrt{x(x-1)}=\frac{9}{2}$

\(\Leftrightarrow 2x+2\sqrt{x}+2\sqrt{x-1}+2\sqrt{x(x-1)}-9=0\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{x-1})^2+2(\sqrt{x}+\sqrt{x-1})-8=0\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{x-1}-2)(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+4)=0\)

Dễ thấy \(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+4>0\) nên $\sqrt{x}+\sqrt{x-1}=2$

$\Rightarrow 2x-1+2\sqrt{x(x-1)}=4$

$\Leftrightarrow 5-2x=2\sqrt{x(x-1)}$

Tiếp tục bình phương kết hợp với điều kiện $x\leq \frac{5}{2}$ ta tìm được $x=\frac{25}{16}$

Vậy $x=y=\frac{25}{16}$

Câu 1: ĐK: $x\geq 1$

Xét PT(1):

\(x^2+xy(2y-1)=2y^3-2y^2-x\)

\(\Leftrightarrow x^2-xy+x+(2xy^2-2y^3+2y^2)=0\)

\(\Leftrightarrow x(x-y+1)+2y^2(x-y+1)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y+1)(x+2y^2)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} y=x+1\\ 2y^2=-x\end{matrix}\right.\)

Nếu $y=x+1$, thay vào PT(2):

$\Rightarrow 6\sqrt{x-1}+x+8=4x^2$

$\Leftrightarrow 4(x^2-4)-6(\sqrt{x-1}-1)-(x-2)=0$

\(\Leftrightarrow 4(x-2)(x+2)-6.\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}-(x-2)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-2)\left[4(x+2)-\frac{6}{\sqrt{x-1}+1}-1\right]=0\)

Với mọi $x\geq 1$ dễ thấy:

$4(x+2)\geq 12$

\(\frac{6}{\sqrt{x-1}+1}+1\leq 6+1=7\)

Suy ra biểu thức trong ngoặc vuông lớn hơn $0$

$\Rightarrow x-2=0\Rightarrow x=2$ (thỏa mãn)

$\Rightarrow y=x+1=3$

Nếu $2y^2=-x\Rightarrow -x\geq 0\Rightarrow x\leq 0$ (vô lý do $x\geq 1$)

Vậy $(x,y)=(2,3)$

Lời giải:

Vì \(3x-8=\sqrt{x^2+16}-\sqrt{x^2+7}>0\Rightarrow x>\frac{8}{3}\Rightarrow 3x-4>0\)

PT \(\Leftrightarrow 3x-8+\sqrt{x^2+7}-\sqrt{x^2+16}=0\)

\(\Leftrightarrow [(3x-4)-\sqrt{x^2+16}]+(\sqrt{x^2+7}-4)=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{(3x-4)^2-(x^2+16)}{3x-4+\sqrt{x^2+16}}+\frac{x^2+7-16}{\sqrt{x^2+7}+4}=0\) (liên hợp)

\(\Leftrightarrow \frac{8x^2-24x}{3x-4+\sqrt{x^2+16}}+\frac{x^2-9}{\sqrt{x^2+7}+4}=0\)

\(\Leftrightarrow (x-3)\left(\frac{8x}{3x-4+\sqrt{x^2+16}}+\frac{x+3}{\sqrt{x^2+7}+4}\right)=0\)

Với mọi \(x>\frac{8}{3}\) ta dễ thấy \(\frac{8x}{3x-4+\sqrt{x^2+16}}+\frac{x+3}{\sqrt{x^2+7}+4}>0\)

Do đó $x-3=0$ hay $x=3$ là nghiệm duy nhất của pt.

\(\left|2x-1\right|+\left|2x+1\right|=m\) (1)

Xét 3 trường hợp: \(x< -\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\le x< \frac{1}{2}\) và \(x\ge\frac{1}{2}\).

Trường hợp 1: \(x< -\frac{1}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|2x-1\right|=1-2x\\\left|2x+1\right|=-1-2x\end{matrix}\right.\)

Phương trình (1) tương đương

\(1-2x-1-2x-m=0\)

\(\Leftrightarrow-4x=m\)

Phương trình trên có nghiệm x duy nhất thỏa mãn điều kiện \(\Leftrightarrow m>2\). (2)

Trường hợp 2: \(-\frac{1}{2}\le x< \frac{1}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|2x-1\right|=1-2x\\\left|2x+1\right|=2x+1\end{matrix}\right.\)

Phương trình (1) tương đương:

\(1-2x+1+2x-m=0\)

\(\Leftrightarrow-m=-2\)

Phương trình trên có vô số nghiệm khi và chỉ khi m = 2 (3).

Trường hợp 3: \(x\ge\frac{1}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|2x-1\right|=2x-1\\\left|2x+1\right|=2x+1\end{matrix}\right.\).

Phương trình (1) tương đương:

\(2x-1+2x+1-m=0\)

\(\Leftrightarrow4x=m\)

Phương trình có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow m>2\) (4)

Như vậy, kết hợp (2), (3) và (4) ta thấy:

- Với m = 2 thì phương trình có vô số nghiệm.

- Với m > 2 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

- Với m < 2 thì phương trình vô nghiệm.

Vậy không có m thỏa mãn phương trình (1) có nghiệm duy nhất.

áp dụng bđt cosi có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^3+y^2\ge2xy\sqrt{x}\\y^3+z^2\ge2yz\sqrt{y}\\z^3+x^2\ge2zx\sqrt{z}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{2\sqrt{x}}{2xy\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{y}}{2yz\sqrt{y}}+\frac{2\sqrt{z}}{2zx\sqrt{z}}=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\)

Ta cần cm: \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx\ge x^2+y^2+z^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\le0\)(sai)

=> đề sai

đề có nhầm lẫn gì không bạn?

Lời giải:

Giả sử số $a$ có $n$ chữ số. Đặt $a=\overline{a_1a_2..a_n}$

Theo bài ra ta có:

$\overline{2019a_1a_2..a_n}\vdots 2018$

$\Leftrightarrow 2019.10^n+\overline{a_1a_2...a_n}\vdots 2018$

$\Leftrightarrow 10^n+\overline{a_1a_2..a_n}\vdots 2018$

Vì $10^n+\overline{a_1a_2..a_n}$ luôn dương nên để nó chia hết cho $2018$ thì $10^n+\overline{a_1a_2..a_n}\geq 2018$

$\Rightarrow n\geq 4$

Để tìm $a$ min ta chọn $n$ min bằng $4$

Khi đó $10^4+\overline{a_1a_2a_3a_4}\vdots 2018$

$\Leftrightarrow 1928+\overline{a_1a_2a_3a_4}\vdots 2018$

Do đó $\overline{a_1a_2a_3a_4}=2018k-1928$ với $k\in\mathbb{N}$

Để $a=\overline{a_1a_2a_3a_4}$ min thì $k$ min

$2018k-1928=\overline{a_1a_2a_3a_4}\geq 1000$

$\Rightarrow k\geq 1,45....\Rightarrow k\geq 2$ do $k\in\mathbb{N}$

Vậy $k_{\min}=2$

$\Rightarrow a_{\min}=2018k_{\min}-1928=2018.2-1928=2108$

Vậy.........

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(4x^2+1\geq 4x\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 5x^2-x+3\geq x^2+3x+2\\ 5x^2+x+\geq x^2+5x+6\\ 5x^2+3x+13\geq x^2+7x+12\\ 5x^2+5x+21\geq x^2+9x+20\end{matrix}\right.\)

\(\text{VT}\leq \frac{1}{x^2+3x+2}+\frac{1}{x^2+5x+6}+\frac{1}{x^2+7x+12}+\frac{1}{x^2+9x+20}\)

\(\Leftrightarrow \text{VT}\leq \frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}+\frac{1}{(x+4)(x+5)}\)

\(\Leftrightarrow \text{VT}\leq \frac{(x+2)-(x+1)}{(x+1)(x+2)}+\frac{(x+3)-(x+2)}{(x+2)(x+3)}+\frac{(x+4)-(x+3)}{(x+3)(x+4)}+\frac{(x+5)-(x+4)}{(x+4)(x+5)}\)

\(\Leftrightarrow \text{VT}\leq \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+5}\)

\(\Leftrightarrow \text{VT}\leq \frac{4}{x^2+6x+5}\)

Dấu "=" xảy ra khi $4x^2=1, x>0$ hay $x=\frac{1}{2}$

Vậy $x=\frac{1}{2}$ là nghiệm của PT.

@Akai Haruma giúp em bài này với ạ cô ơi !!!

Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) ta có:

\(\dfrac{1}{A+B-C}+\dfrac{1}{B+C-A}\ge\dfrac{4}{A+B-C+B+C-A}=\dfrac{4}{2B}=\dfrac{2}{B}\)

\(\dfrac{1}{B+C-A}+\dfrac{1}{C+A-B}\ge\dfrac{4}{B+C-A+C+A-B}=\dfrac{4}{2C}=\dfrac{2}{C}\)

\(\dfrac{1}{C+A-B}+\dfrac{1}{A+B-C}\ge\dfrac{4}{C+A-B+A+B-C}=\dfrac{4}{2A}=\dfrac{2}{A}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(2VT\ge\dfrac{2}{A}+\dfrac{2}{B}+\dfrac{2}{C}=2\left(\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{B}+\dfrac{1}{C}\right)=2VP\Leftrightarrow VT\ge VP\)

Mình nghĩ là nó áp dụng vào bđt côsi

Lời giải:
Ta có:
\(2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-3\left(x+\frac{1}{x}\right)-5m+1=0\)

\(\Leftrightarrow 2\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-3\left(x+\frac{1}{x}\right)-5m-3=0\)

Đặt \(x+\frac{1}{x}=t(*)\) thì: \(2t^2-3t-5m-3=0(**)\)

Để PT ban đầu có nghiệm thì PT $(**)$ phải có nghiệm t và PT $(*)$ phải có nghiệm $x$

Viết lại PT $(*)$: \(\Leftrightarrow x^2-xt+1=0\)

Để PT $(*)$ có nghiệm $t$ thì:

\(\Delta=t^2-4\geq 0\Leftrightarrow t^2\geq 4\Leftrightarrow t\in (-\infty;-2]\cup [2;+\infty)\)

Viết lại PT $(**)$: \(\Leftrightarrow m=\frac{2t^2-3t-3}{5}=f(t)\)

Để $(**)$ có nghiệm thì \(\min f(t) \leq m\leq \max f(t)\)

Với \(t\in (-\infty;-2]\cup [2;+\infty)\) thì:

\(f(t)\to +\infty\)

\(f(t)_{\min}=f(2)=\frac{-1}{5}\) (thông qua BBT)

Do đó \(m\in [\frac{-1}{5}; +\infty)\Rightarrow a=1; b=5\)

\(\Rightarrow T=ab=5\)

Đáp án C.