Hỏi đáp môn Toán

Lời giải:

Ta có:

\(x^2+1-2x=(x-1)^2\geq 0\Rightarrow 2x\leq x^2+1(1)\)

\(x^2+y^2=1\Rightarrow y^2=1-x^2\leq 1\Rightarrow -1\leq y\leq 1\)

Do đó \(y^3-y^2=y^2(y-1)\leq 0\Rightarrow y^3\leq y^2(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow P=2x+y^3\leq x^2+1+y^2=2\)

Vậy \(P_{\max}=2\). Dấu bằng xảy ra khi \((x,y)=(1,0)\)

Lời giải:

Không mất tổng quát giả sử \(c=\min (a,b,c)\)

Khi đó, do \(ab+bc+ac=3\Rightarrow ab\geq 1\).

Với $ab\geq 1$ ta có bổ đề sau: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}\)

Để cm bổ đề trên rất đơn giản. Quy đồng và biến đổi tương đương thu được \((a-b)^2(ab-1)\geq 0\) (luôn đúng với mọi \(ab\geq 1\) )

Sử dụng bổ đề vào bài toán:

\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{2}{ab+1}+\frac{1}{c^2+1}=\frac{2c^2+ab+3}{abc^2+ab+c^2+1}(*)\)

Giờ ta sẽ cm \(\frac{2c^2+ab+3}{abc^2+ab+c^2+1}\geq \frac{3}{2}(**)\)

\(\Leftrightarrow 2(2c^2+ab+3)\geq 3(abc^2+ab+c^2+1)\)

\(\Leftrightarrow c^2+3\geq 3abc^2+ab\)

\(\Leftrightarrow c^2+bc+ac\geq 3abc^2\)

\(\Leftrightarrow c+b+a\geq 3abc\).

BĐT trên đúng do theo AM-GM: \(3(a+b+c)=(ab+bc+ac)(a+b+c)\geq 9abc\Rightarrow a+b+c\geq 3abc\) )

Do đó $(*)$ được cm.

Từ \((*),(**)\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{3}{2}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

Đặt b+c-a=x, c+a-b=y, a+b-c=z thì 2a =y+z, 2b +x+z, 2c +x+y. Ta có:

\(\dfrac{2a}{b+c-a}+\dfrac{2b}{a+c-b}+\dfrac{2c}{a+b-c}\)

= \(\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}\)

=\(\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\right)\)(1)

Mà \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2=\dfrac{x^2+y^2-2xy}{xy}=\dfrac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\)( vì xy >0)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\)(2)

Tương tự: \(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\ge2\)(3)

\(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\ge2\)(4)

Từ (1),(2),(3) và (4):

\(\Rightarrow\)\(\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\right)\)\(\ge6\)

Hay \(\dfrac{2a}{b+c-a}+\dfrac{2b}{a+c-b}+\dfrac{2c}{a+b-c}\) \(\ge6\)

Do đó: \(\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\ge3\)(đpcm)

C1 : Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có :

\(\sum\dfrac{a}{b+c-a}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}}\ge3\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

C2 : Theo Cauchy Schwarz :

\(\sum \frac{a}{b+c-a}\geq \sum \frac{a^2}{ab+ac-a^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+ca+bc)-a^2-b^2-c^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\frac{2}{3}(a+b+c)^2-\frac{1}{3}(a+b+c)^2}=3\)

(đpcm).

\(\left(a^3+b^3+c^3\right)\left[\dfrac{3}{8}.\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right].\left[\dfrac{3}{8}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]..\)

\(\le\dfrac{1}{9^9}\left[a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^9\)

\(=\dfrac{1}{9^9}\left(a+b+c\right)^{27}\)

\(\Leftrightarrow3^8.\left(a^3+b^3+c^3\right)\le\dfrac{1}{3^{18}}\left(a+b+c\right)^{27}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[27]{\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}}\le\dfrac{a+b+c}{3}\)

P/s: Eztogiveup

Lời giải:

Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của $a,b$

Khi đó, đặt \(\left\{\begin{matrix} a=dx\\ b=dy\end{matrix}\right.(x,y)=1\)

Ta có: \(ab(a+b)\vdots a^2+ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow dxdy(dx+dy)\vdots (dx)^2+dxdy+(dy)^2\)

\(\Leftrightarrow dxy(x+y)\vdots x^2+xy+y^2\)

Do $x,y$ nguyên tố cùng nhau nên :

\((x,x^2+xy+y^2)= (y,x^2+xy+y^2)=(x+y,x^2+xy+y^2)=1\)

Suy ra \(d\vdots x^2+xy+y^2\)

\(\Rightarrow d\geq x^2+xy+y^2\)

\(\Rightarrow d^3\geq a^2+ab+b^2\)

Mà với $a,b$ nguyên dương phân biệt thì \(a^2+ab+b^2\geq 3ab>ab\)

Do đó \(d^3>ab(1)\)

Mặt khác: $a,b$ nguyên dương phân biệt kéo theo $x,y$ nguyên dương phân biệt nên \(|x-y|\geq 1\)

\(\Rightarrow |a-b|=d|x-y|\geq d(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow |a-b|^3>ab\Rightarrow |a-b|>\sqrt[3]{ab}\)

Ta có đpcm.

Lời giải:

Vì \(a,b,c\in [-2;5]\) nên:

\(\left\{\begin{matrix} (a+2)(a-5)\leq 0\\ (b+2)(b-5)\leq 0\\ (c+2)(c-5)\leq 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2\leq 3a+10\\ b^2\leq 3b+10\\ c^2\leq 3c+10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2\leq 3a+10\\ 2b^2\leq 6b+20\\ 3c^2\leq 9c+30\end{matrix}\right. \)

Do đó:

\(a^2+2b^2+3c^2\leq 3(a+2b+3c)+60\)

Mà \(a+2b+3c\leq 2\)

\(\Rightarrow a^2+2b^2+3c^2\leq 3.2+60=66\)

Ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(-2,5,-2)\)

đề sai à

Ta có:

\(\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\)

\(=a+b+c-\dfrac{ab^2}{1+b^2}-\dfrac{bc^2}{1+c^2}-\dfrac{ca^2}{1+a^2}\)

\(\ge3-\dfrac{ab^2}{2b}-\dfrac{bc^2}{2c}-\dfrac{ca^2}{2a}\)

\(=3-\dfrac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge3-\dfrac{1}{2}.\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

\(=3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Lời giải:

Ta sẽ CM BĐT trung gian sau:

\(P\geq \frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\)

\(\Leftrightarrow x^2\left ( \frac{1}{y+z}-\frac{1}{x+y} \right )+y^2\left ( \frac{1}{x+z}-\frac{1}{z+y} \right )+z^2\left ( \frac{1}{x+y}-\frac{1}{z+x} \right )\geq 0\)

\(\Leftrightarrow x^2(x^2-z^2)+y^2(y^2-x^2)+z^2(z^2-y^2)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (x^2-y^2)^2+(y^2-z^2)^2+(z^2-x^2)^2\geq 0\) (luôn đúng)

Giờ ta sẽ tìm min \(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\)

Hiển nhiên \(\sum \frac{x^2}{x+y}=\sum \frac{y^2}{x+y}\) nên

\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+y^2}{x+y}+\frac{y^2+z^2}{y+z}+\frac{z^2+x^2}{z+x}\right)=A\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(A\geq \frac{1}{2}\frac{(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2})^2}{2(x+y+z)}=\frac{9}{x+y+z}\)

Áp dụng BĐT Cauchy: \(\sqrt{x^2+y^2}\geq \frac{x+y}{\sqrt{2}}\)

Tương tự với các số còn lại suy ra \(6\geq \sqrt{2}.(x+y+z)\Rightarrow x+y+z\leq 3\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow A\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}\) kéo theo \(P_{\min}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{2}\)

Lời giải:

Sử dụng liên hợp

Dễ thấy \(x\neq \sqrt{x^2+2011}; y\neq \sqrt{y^2+2011}\)

PT ban đầu: \((x+\sqrt{x^2+2011})(y+\sqrt{y^2+2011})=2011(*)\)

\(\Leftrightarrow \frac{x^2-(x^2+2011)}{x-\sqrt{x^2+2011}}.\frac{y^2-(y^2+2011)}{y-\sqrt{y^2+2011}}=2011\)

\(\Leftrightarrow \frac{2011^2}{(x-\sqrt{x^2+2011})(y-\sqrt{y^2+2011})}=2011\)

\(\Rightarrow (x-\sqrt{x^2+2011})(y-\sqrt{y^2+2011})=2011(**)\)

Lấy \((*)-(**)\) thu được:

\(2x\sqrt{y^2+2011}+2y\sqrt{y^2+2011}=0\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{y^2+2011}=-y\sqrt{x^2+2011}(***)\)

Bình phương hai vế:
\(x^2(y^2+2011)=y^2(x^2+2011)\)

\(\Leftrightarrow 2011x^2=2011y^2\Leftrightarrow (x-y)(x+y)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x+y=0\\ x-y=0\end{matrix}\right.\)

Nếu \(x-y=0\Leftrightarrow x=y\)

Thay vào $(***)$ suy ra ngay $x=y=0$ suy ra \(x+y=0\)

Tóm lại trong mọi TH thì $x+y=0$

Lời giải:

a)

Vì \(\Delta=(m-1)^2+4(m^2+2)>0, \forall m\in\mathbb{R}\) nên pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$

Áp đụng định lý Viete cho pt bậc 2 ta có:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=1-m\\ x_1x_2=-(m^2+2)\end{matrix}\right.(*)\)

Vì \(m^2\geq 0, \forall m\in\mathbb{R}\Rightarrow m^2+2>0\Rightarrow -(m^2+2)< 0\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2< 0\).

Do đó pt luôn có hai nghiệm trái dấu (đpcm)

b)

Sử dụng hằng đẳng thức và $(*)$ để biến đổi:

\(T=\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^3+\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^3=\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)^3-3.\frac{x_1}{x_2}.\frac{x_2}{x_1}\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)\)

\(T=\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)^3-3\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)\)

Đặt \(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=t\Rightarrow T=t^3-3t\)

Có: \(t=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2}-2=\frac{(1-m)^2}{-(m^2+3)}-2\)

Vì \((1-m)^2\geq 0; -(m^2+3)< 0\Rightarrow t=\frac{(1-m)^2}{-(m^2+3)}-2\leq 0-2=-2\)

Khi đó:

\(T=t^3-3t=t(t^2-4)+t=t(t-2)(t+2)+t\)

Vì \(t\leq -2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t(t-2)(t+2)\leq 0\\ t\leq -2\end{matrix}\right.\Rightarrow T\leq -2\)

Vậy \(T_{\max}=-2\). Dấu bằng xảy ra khi \(t=-2\Leftrightarrow \frac{(1-m)^2}{-(m^2+3)}-2=-2\Leftrightarrow m=1\)

x,y€0;1]

(x-1)(y-1)≥0

xy-(x+y)+1≥0

3xy-3(x+y)+3≥0:; -2(x+y)+3≥0

(x+y)≤3/2

x+y=3xy=>9(xy)^2-4(xy)≥0=> xy≥4/9

=>(x+y)€[4/3;3/2]

P=x^2+y^2-4xy=(x+y)^2-6xy=(x+y)^2-2(x+y)=[(x+y-1]^2-1

Pmin=(4/3-1)^2-1=1/9-1=-8/9

khi x+y=4 /3; xy=4/9

x=y=2/3

Pmax=(3/2-1)^2-1=1/4-1=-3/4

khi x or y =1

(x,y)=(1,1/2);(1/2;1)

\(P=x^2+y^2-4xy\)

\(P=\left(x+y\right)^2-2xy-4xy\)

\(P=\left(3xy\right)^2-6xy\)

\(P=\left(3xy\right)^2-2.3xy.1+1-1\)

\(P=\left(3xy-1\right)^2-1\ge-1\)

dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow3xy-1=0\Leftrightarrow xy=\dfrac{1}{3}\)

vậy MIN \(P=-1\Leftrightarrow xy=\dfrac{1}{3}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x-2010=a\\2009-x=b\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài ta có:

\(\dfrac{\left(2009-x\right)^2+\left(2009-x\right)\left(x-2010\right)+\left(x-2010\right)^2}{\left(2009-x\right)^2-\left(2009-x\right)\left(x-2010\right)+\left(x-2010\right)^2}=\dfrac{19}{49}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{b^2+ab+a^2}{b^2-ab+a^2}=\dfrac{19}{49}\)

\(\Leftrightarrow19\left(b^2-ab+a^2\right)=49\left(b^2+ab+a^2\right)\)
\(\Leftrightarrow19b^2-19ab+19a^2-49b^2-49ab-49a^2=0\)

\(\Leftrightarrow-30a^2-68ab-30b^2=0\)

\(\Leftrightarrow-2\left(15a^2+34ab+15b^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow15a^2+34ab+15b^2=0\)

\(\Leftrightarrow15a^2+25ab+9ab+15b^2=0\)

\(\Leftrightarrow5a\left(3a+5b\right)+3b\left(3a+5b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3a+5b\right)\left(5a+3b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3a+5b=0\\5a+3b=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3\left(x-2010\right)+5\left(2009-x\right)=0\\5\left(x-2010\right)+3\left(2009-x\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-6030+10045-5x=0\\5x-10050+6027-3x=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-2x+4015=0\\2x-4023=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-2x=-4015\\2x=4023\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{-4015}{-2}=2007,5\\x=\dfrac{4023}{2}=2011,5\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left[{}\begin{matrix}x=2007,5\\x=2011,5\end{matrix}\right.\)

Đặt , .

Ta có : .

Từ đó tính được hoặc , suy ra .