Hỏi đáp môn Toán

B1: Từ \(\dfrac{1}{x^2+1}+\dfrac{1}{y^2+1}=\dfrac{2}{xy+1}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(xy+1\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\xy=1\end{matrix}\right.\)

*)Với \(x=y\) khi đó ta có: \(P=\dfrac{1}{x^2+1}+\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{2}{1+x^2}=\dfrac{4}{x^2+1}\)

*)Với \(xy=1\) khi đó ta có: \(P=\dfrac{1}{x^2+xy}+\dfrac{1}{y^2+xy}+\dfrac{2}{1+1}\)

\(=\dfrac{x+y}{xy\left(x+y\right)}+1=2\)

vẽ cái hình xem nào

CÂU 1 : mk giải bằng 2 cách nha .

cách 1 : vì bài toán yêu cầu tính \(\Rightarrow\) giá trị của \(P\) là cố định

\(\Rightarrow\) chỉ cần tìm \(x;y\) thỏa mãn tất cả các điều kiện của bài toán rồi thế vào là đc .

ta có : \(x=1;y=1\) thỏa mãn tất cả các điều kiện

thế vào \(P\) ta có : \(P=2\)

cách 2 : ta có : \(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{4}{2+x^2+y^2}\le\dfrac{2}{1+xy}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}=\dfrac{2}{1+xy}\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}=\dfrac{4}{2+x^2+y^2}\\\dfrac{2}{1+xy}=\dfrac{4}{2+x^2+y^2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=\pm y\) \(\Rightarrow P=\dfrac{4}{1+x^2}=\dfrac{4}{1+y^2}=\dfrac{4}{1+xy}\)

\(\Rightarrow\) giá trị của \(P\) là không cố định \(\Rightarrow\) trái lại với cách \(1\)

\(\Rightarrow\) đề sai

câu hình nhìn là muốn ngáp luôn zậy à . lm biến lm quá .

. Không cần phải căng thẳng vậy đâu :3

\(C=x+\sqrt{2-x}\)

\(=-\left(2-x\right)+\sqrt{2-x}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{9}{4}\)

\(=-\left(\sqrt{2-x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{9}{4}\le\dfrac{9}{4}\)

Dấu \("="\) xảy ra khi \(\left(\sqrt{2-x}-\dfrac{1}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{7}{4}\)

Đặt \(\sqrt{2-x}=a\ge0\)

\(\Rightarrow C=2-a^2+a=\dfrac{9}{4}-\left(a^2-a+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{9}{4}-\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2\le\dfrac{9}{4}\)

Dâu = xảy ra khi

\(\sqrt{2-x}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{7}{4}\)

đề sai à

\(\left\{{}\begin{matrix}x^8y^8+y^4=2x\left(☺\right)\\2x+2=2x\left(1+y\right)\sqrt{xy}\left(☻\right)\end{matrix}\right.\)

\(pt\left(☻\right)\Leftrightarrow x+1=x\left(1+y\right)\sqrt{xy}\)

Ta dễ dàng suy ra \(x;y>0\)

Chia 2 vế của \(pt\left(☻\right)\) cho \(x\sqrt{x}\) ta có:

\(pt\left(☻\right)\Leftrightarrow\left(\sqrt{xy}-1\right)\left(xy+\sqrt{xy}+x+1\right)=0\)

Từ \(x;y>0\Rightarrow xy>0\Rightarrow xy+\sqrt{xy}+x+1>0\) (loại)

Suy ra \(\sqrt{xy}-1=0\Rightarrow\sqrt{xy}=1\Rightarrow x=\dfrac{1}{y}\)

\(\Rightarrow\left(☺\right)\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(y^4+y^3+y^2+y+2\right)=0\)

Do \(y>0\)\(\Rightarrow y^4+y^3+y^2+y+2>0\) (loại)

\(\Rightarrow y-1=0\Rightarrow y=1\Rightarrow x=y=1\)

Vậy hpt có 1 cặp nghiệm duy nhất \((x;y)=(1;1)\)

xí bài này nhé, 15 phút sau quay lại làm

bình phương là thấy ngay ,mà hình như nhầm chỗ 1-y² =))

Phần a)

Dùng phương pháp kẹp

Xét:

\(y^3-x^3=(1+x+x^2+x^3)-x^3=1+x+x^2=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}>0\)

\(\Rightarrow y^3>x^3(1)\)

Xét:

\(y^3-(x+2)^3=(1+x+x^2+x^3)-(x+2)^3\)

\(=-5x^2-11x-7=\frac{-19}{20}-5(x+\frac{11}{10})^2<0\)

Do đó: \(y^3< (x+2)^3(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow x^3< y^3< (x+2)^3\)

\(\Rightarrow y^3=(x+1)^3\)

\(\Leftrightarrow 1+x+x^2+x^3=x^3+3x^2+3x+1\)

\(\Leftrightarrow 2x^2+2x=0\Leftrightarrow x(x+1)=0\Rightarrow x=0; x=-1\)

Tương ứng, ta thu được \(y=1; y=0\)

Vậy \((x,y)=(0;1); (-1;0)\)

Phần b)

Ta có:

\(x(x+1)(x+7)(x+8)=y^2\)

\(\Leftrightarrow [x(x+8)][(x+1)(x+7)]=y^2\)

\(\Leftrightarrow (x^2+8x)(x^2+8x+7)=y^2\)

Đặt \(x^2+8x=a\). Khi đó pt trở thành:

\(a(a+7)=y^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+7a=y^2\)

\(\Leftrightarrow 4a^2+28a=4y^2\)

\(\Leftrightarrow (2a+7)^2-49=(2y)^2\)

\(\Leftrightarrow (2a+7-2y)(2a+7+2y)=49\)

Đến đây, lập bảng xét giá trị ta thu được:

\((a,y)=(9,12); (9,-12); (0,0);(-16,-12); (-16,12); (-7,0)\)

\(\Rightarrow (x,y)=(1,12); (-9,12); (1,-12); (-9,-12); (0,0); (-8,0); (-4,-12); (-4,12); (-1,0); (-7,0)\)

ta có : \(C=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+2}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\dfrac{2\sqrt{z}}{\sqrt{xyz}+\sqrt{xz}+2\sqrt{z}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{xyz}+\sqrt{xy}+\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\dfrac{2}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+2}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\dfrac{\sqrt{xyz}}{\sqrt{xyz}+\sqrt{xy}+\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{y}+1}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\dfrac{\sqrt{yz}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}=\dfrac{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}=1\)

c)
ĐK: \(x,y\geq 1\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm

\(\sqrt{y-1}=\sqrt{1(y-1)}\leq \frac{1+(y-1)}{2}=\frac{y}{2}\)

\(\Rightarrow x\sqrt{y-1}\leq \frac{xy}{2}\)

\(\sqrt{x-1}=\sqrt{1(x-1)}\leq \frac{1+(x-1)}{2}=\frac{x}{2}\)

\(\Rightarrow 2y\sqrt{x-1}\leq xy\)

Do đó:
\(x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{x-1}\leq \frac{xy}{2}+xy=\frac{3}{2}xy\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} y-1=1\\ x-1=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=2\)

Vậy pt có nghiệm $x=y=2$

b)

ĐK: \(x\geq \frac{5}{2}\)

Nhân cả 2 vế của pt với $\sqrt{2}$ thu được:

\(\sqrt{2x+2\sqrt{2x-5}-4}+\sqrt{2x-6\sqrt{2x-5}+4}=4\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{(2x-5)+2\sqrt{2x-5}+1}+\sqrt{(2x-5)-6\sqrt{2x-5}+9}=4\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{2x-5}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{2x-5}-3)^2}=4\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{2x-5}+1+|\sqrt{2x-5}-3|=4\)

\(\Rightarrow |\sqrt{2x-5}-3|=3-\sqrt{2x-5}(*)\)

Nếu \(x\geq 7\Rightarrow |\sqrt{2x-5}-3|=\sqrt{2x-5}-3\)

$(*)$ trở thành: \(\sqrt{2x-5}-3=3-\sqrt{2x-5}\)

\(\Rightarrow \sqrt{2x-5}=3\Rightarrow x=7\) (thỏa mãn)

Nếu \(\frac{5}{2}\leq x< 7\Rightarrow |\sqrt{2x-5}-3|=3-\sqrt{2x-5}\)

$(*)$ trở thành:

\(3-\sqrt{2x-5}=3-\sqrt{2x-5}\) (luôn đúng)

Vậy pt có nghiệm $x=7$ hoặc $\frac{5}{2}\leq x< 7$

Hay PT có nghiệm thuộc \([\frac{5}{2}; 7]\)

Lời giải:

Từ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow ab+bc+ac=0\)

Khi đó:

\(A=\frac{a^2}{a^2+bc-ab-ac}+\frac{b^2}{b^2+ac-ab-bc}+\frac{c^2}{c^2+ab-ac-bc}\)

\(=\frac{a^2}{(a-c)(a-b)}+\frac{b^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}\)

\(=\frac{a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)

\(=\frac{a^2(c-b)-b^2[(c-b)+(b-a)]+c^2(b-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)

\(=\frac{(a^2-b^2)(c-b)+(c^2-b^2)(b-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)

\(=\frac{(a-b)(c-b)[(a+b)-(c+b)]}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\frac{(a-b)(c-b)(a-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)

\(=\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=1\)

Nguyễn Huy TúAkai HarumaNguyễn Huy Thắng mn giúp mk với !

a, Xét hình thang ABCD có EF là đường trung bình ta có:

\(AB\text{//}EF;CD\text{//}EF;EF=\dfrac{AB+CD}{2}\)

(theo tính chất đường trung bình của hình thang)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{EAI}=\widehat{BAI}=\widehat{AIE}\left(slt\right)\\\widehat{FBK}=\widehat{ABK}=\widehat{BKF}\left(slt\right)\end{matrix}\right.\)(1)

\(\Rightarrow\Delta AEI;\Delta BKF\) cân tại E và F.(đpcm)

b, Vì \(\Delta AEI;\Delta BKF\) cân tại E và F nên \(\left\{{}\begin{matrix}AE=IE=DE\\BK=FK=CF\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta EID;\Delta FKC\) cân tại E và F

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{EID}=\widehat{EDI}\\\widehat{FKC}=\widehat{FCK}\end{matrix}\right.\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AID}=90^o\\\widehat{BKC}=90^o\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta AID;\Delta BKC\) vuông tại I và K(đpcm)

c, Xét \(\Delta AID;\Delta BKC\)vuông tại I và K(cmt) có IE và KF là đường trung tuyến ta có:

\(IE=\dfrac{1}{2}AD;KF=\dfrac{1}{2}BC\) (do trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

d, Theo câu a ta có:

\(EF=\dfrac{AB+CD}{2}\Rightarrow EF=\dfrac{5+13}{2}=\dfrac{18}{2}=9\left(cm\right)\)

Theo câu c ta có:

\(IE=\dfrac{1}{2}AD\Rightarrow IE=\dfrac{1}{2}.6=3\left(cm\right)\)

\(KF=\dfrac{1}{2}BC\Rightarrow KF=\dfrac{1}{2}.7=3,5\left(cm\right)\)

Ta có:

\(EI+IK+KF=EF\)

\(\Rightarrow IK=EF-EI-KF=9-3-3,5=2,5\left(cm\right)\)

Vậy..................

Chúc bạn học tốt!!!

ta có : \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\)

\(=23+2\left(xy+yz+zx\right)=49\Rightarrow xy+yz+zx=13\)

rồi bn có gắn qui đồng nó thế vào là o ke :( mk qui vài mà nó dài quá thôi bỏ luôn

Ta có:

\(x^3-y^3=2xy+8\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^3+3xy\left(x-y\right)-2xy=8\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^3+xy\left(3x-3y-2\right)=8\)

\(\Rightarrow\left(3x-3y\right)^3+27xy\left(3x-3y-2\right)=216\)

\(\Rightarrow\left[3x-3y-2\right]\left[\left(3x-3y\right)^2+2\left(3x-3y\right)+4\right]+27xy\left[3x-3x-2\right]=208\)

\(\Rightarrow\left[3x-3y-2\right]\left[9x^2-18xy+9y^2+6x-6y+4+27xy\right]=208\)

\(\Rightarrow\left[3x-3y-2\right]\left[9x^2+9xy+9y^2+6x-6y+4\right]=208\)

Đến đây thì gần xong rồi.

P/s: _{^{Bài làm chỉ mang tính chất tham khảo trên mạng}}

Mysterious Person Phùng Khánh Linh Nhã Doanh Aki Tsuki DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG nguyen thi vang

a) ta có : \(A=tan1.tan2.tan3...tan89\)

\(=\left(tan1.tan89\right).\left(tan2.tan88\right).\left(tan3.tan87\right)...\left(tan44.tan46\right).tan45\)

\(=\left(tan1.tan\left(90-1\right)\right).\left(tan2.tan\left(90-2\right)\right).\left(tan3.tan\left(90-3\right)\right)...\left(tan44.tan\left(90-44\right)\right).tan45\)

b) ta có \(B=\dfrac{sin\alpha+2cos\alpha}{3sin\alpha-4cos\alpha}=\dfrac{\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}+\dfrac{2cos\alpha}{cos\alpha}}{\dfrac{3sin\alpha}{cos\alpha}-\dfrac{4cos\alpha}{cos\alpha}}\)

\(=\dfrac{tan\alpha+2}{3tan\alpha-4}=\dfrac{\dfrac{1}{2}+2}{\dfrac{3}{2}-4}=-1\)

ta có \(D=\dfrac{2sin^2\alpha-3cos^2\alpha}{4cos^2\alpha-5sin^2\alpha}=\dfrac{\dfrac{2sin^2\alpha}{cos^2\alpha}-\dfrac{3cos^2\alpha}{cos^2\alpha}}{\dfrac{4cos^2\alpha}{cos^2\alpha}-\dfrac{5sin^2\alpha}{cos^2\alpha}}\)

\(=\dfrac{2tan^2\alpha-3}{4-5tan^2\alpha}=\dfrac{2\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-3}{4-5\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}=\dfrac{-10}{11}\)