Hỏi đáp môn Toán

Các bạn CTV giúp mình cho câu hỏi này lên câu hỏi hay nhé! Mình cảm ơn nhiều ạ!

Các cao nhân Toán thử sức mình đi nào :)) Lưu ý thời gian kết thúc bài toán có thể kết thúc sớm hoặc muộn hơn thời gian trên, nhưng sớm nhất là vào ngày 1/10.

Bài toán 1 : 1 - 7 - 31 - 117 - 361 - 1087

Bài toán 2 : Cập nhật sau ạ

Bài 1:

Giả sử \(a\ge b\ge c \ge d \ge e\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+cd+de \leq a.(b+c+d+e)\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+cd+de \leq a.(1-a)\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+cd+de \leq -(a-\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi có ít nhất 2 số bằng 0 thì 2 số còn lại bằng \(\frac{1}{2}\) giả sử \(a=b=\dfrac{1}{2};c=d=0\)

Bài 2:

\(BDT\LeftrightarrowΣ\dfrac{3\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}\ge9\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{\left(b+c\right)^2}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{\left(c+a\right)^2}{\left(c-a\right)^2}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}-1+\dfrac{\left(b+c\right)^2}{\left(b-c\right)^2}-1+\dfrac{\left(c+a\right)^2}{\left(c-a\right)^2}-1\ge-1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4ab}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{4bc}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{4ca}{\left(a-c\right)^2}\ge-1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3ab}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{3bc}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{3ca}{\left(a-c\right)^2}\ge-\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3ab}{\left(a-b\right)^2}+1+\dfrac{3bc}{\left(b-c\right)^2}+1+\dfrac{3ca}{\left(a-c\right)^2}+1\ge3-\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+ab+b^2}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{b^2+bc+c^2}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{c^2+ac+c^2}{\left(a-c\right)^2}\ge\dfrac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3-b^3}{\left(a-b\right)^3}+\dfrac{b^3-c^3}{\left(b-c\right)^3}+\dfrac{c^3-a^3}{\left(a-c\right)^3}\ge\dfrac{9}{4}\)(Đúng)

P/s: Ok, xong tưởng dễ ai dè ngốn mất 2 tiếng

mình nghĩ bài 1 P=ab+bc+cd+de thôi bn à cơ sở dựa vào bài Câu hỏi của Mai Thành Đạt - Toán lớp 8 | Học trực tuyến, và 1 số chỗ

tui nghĩ đáp án là 1237.Vì:

-7-1=6

-31-7=24

Mà 6. 4=24

-117-31=86

Mà 24.4=96

Nên 96=86+10

-361-117=244

Mà 86.4=344

Nên 344=244+100

-Ta lấy 244.4=976

Lấy 976+361=1337

sau đó lấy 1337-100=1237

Kết luận:1-7-31-117-361-1237

Các bạn CTV giúp mình cho câu hỏi này lên câu hỏi hay nhé! Các cao nhân Toán thử sức đi nào :))

@Nguyễn Lê Phước Thịnh

@Nguyễn Việt Lâm

@Akai Haruma

Điều kiện: \(x\ge\dfrac{1}{2}\)

\(\sqrt{2x-2\sqrt{2x-1}}-2\sqrt{2x+3-4\sqrt{2x-1}}+3\sqrt{2x+8-6\sqrt{2x-1}=0}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{2x-1}-1\right)^2}-2\sqrt{\left(\sqrt{2x-1}-2\right)^2}+3\sqrt{\left(\sqrt{2x-1}-3\right)^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left|\sqrt{2x-1}-1\right|-2\left|\sqrt{2x-1}-2\right|+3\left|\sqrt{2x-1}-3\right|=0\)

Với \(\dfrac{1}{2}\le x< 1\)

\(\Leftrightarrow1-\sqrt{2x-1}-2\left(2-\sqrt{2x-1}\right)+3\left(3-\sqrt{2x-1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-2\sqrt{2x-1}+6=0\)

\(\Leftrightarrow x=5\left(l\right)\)

Tương tự cho các trường hợp: \(1\le x< \dfrac{5}{2};\dfrac{5}{2}\le x< 5;x\ge5\)

Tới đây thì kết luận thôi.

\(\sqrt{2x-2\sqrt{2x-1}}-2\sqrt{2x+3-4\sqrt{2x-1}}+3\sqrt{2x+8-6\sqrt{2x-1}}=0\)

ĐK:\(x\ge\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x-1-2\sqrt{2x-1}+1}-2\sqrt{2x-1-4\sqrt{2x-1}+4}+3\sqrt{2x-1-6\sqrt{2x-1}+9}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{2x-1}-1\right)^2}-2\sqrt{\left(\sqrt{2x-1}-2\right)^2}+3\sqrt{\left(\sqrt{2x-1}-3\right)^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x-1}-1-2\left(\sqrt{2x-1}-2\right)+3\left(\sqrt{2x-1}-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x-1}-1-2\sqrt{2x-1}+4+3\sqrt{2x-1}-9=0\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{2x-1}-6=0\)\(\Leftrightarrow\sqrt{2x-1}=3\)

\(\Leftrightarrow2x-1=9\Leftrightarrow2x=10\Rightarrow x=5\) *Thỏa*

Lời giải:

Xét $p=2$ thấy thỏa mãn:

Xét $p>2$

Đặt $p^3-4p+9=a^2$ với $a$ là số tự nhiên.

$\Leftrightarrow p(p^2-4)=a^2-9=(a-3)(a+3)(*)$

$p>2$ nên $p$ lẻ, suy ra $a^2-9$ lẻ, suy ra $a$ chẵn.

$p>2$ nên $(a-3)(a+3)>0$. Mà $a\in\mathbb{N}$ nên $a>3$.

Lại có: $(a-3)(a+3)=p(p^2-4)\vdots p$. Đến đây ta xét các TH:

TH1: $a-3\vdots p$. Đặt $a-3=pk$ với $k\in\mathbb{N}^*$ thì thay vào $(*)$ ta có:

$p^2-pk^2-4-6k=0$

Coi đây là pt bậc 2 ẩn $p$. Điều kiện để pt có nghiệm nguyên là :

$\Delta=k^4+24k+16$ phải là một số chính phương. $kp=a-3$ lẻ do $a$ chẵn nên $k$ cũng là số lẻ. Do đó $k^4+24k+16$ là scp lẻ.

Bằng nguyên lý kẹp, ta dễ dàng có $(k^2)^2< k^4+24k+16\leq (k^2+6)^2$ với $k\in\mathbb{N}^*$

Mà $k^4+24k+16$ lẻ nên $k^4+24k+16$ có thể nhận các giá trị $(k^2+2)^2; (k^2+4)^2$

Thử 2 trường hợp trên tìm được $k=3$, kéo theo $p=11$

TH2: $a+3\vdots p$. Làm tương tự như trên ta có $p=7$

Vậy $p=7; p=2$ hoặc $p=11$

$\Rightarrow k=

Lời giải:

$\frac{a+b}{a^2+b^2}=\frac{9}{41}\Rightarrow 9(a^2+b^2)=41(a+b)$

$\Leftrightarrow 9(a+b)^2-18ab=41(a+b)$

Đặt $a+b=m; ab=n$ thì $9m^2-18n=41m$

Giả sử $m,n$ không nguyên tố cùng nhau. Khi đó gọi $p$ là ước nguyên tố lớn nhất của $m,n$

Ta có:\(\left\{\begin{matrix} m=a+b\vdots p\\ n=ab\vdots p\end{matrix}\right.\)

Vì $ab\vdots p$ và $(a,b)=1$ nên $a\vdots p; b\not\vdots p$ hoặc $a\not\vdots p, b\vdots p$

Khi đó $a+b\not\vdots p$ (vô lý vì $m=a+b\vdots p$)

Do điều giả sử sai. Tức là $(m,n)=1$

Ta có: $9m^2-18n=41m\vdots m\Rightarrow 18n\vdots m$

Mà $(m,n)=1$ nên $18\vdots m(1)$

Mặt khác: $41m=9m^2-18n\vdots 9\Rightarrow m\vdots 9(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow m=9$ hoặc $m=18$

$\Rightarrow n=20$ hoặc $n= 121$ (tương ứng)

Vậy $a+b=9; ab=20$ hoặc $a+b=18; ab=121$

Đến đây sử dụng định lý Vi-et đảo để tìm $a,b$

Lời giải:

Ta có: \(x^4-2(m+1)x^2+2m+1=0\)

\(\Leftrightarrow (x^4-x^2)-(2m+1)x^2+2m+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2(x^2-1)-(2m+1)(x^2-1)=0\)

\(\Leftrightarrow (x^2-1)(x^2-2m-1)=0\)

Hiển nhiên pt đã có hai nghiệm \(x=\pm 1\)

Để pt có 4 nghiệm phân biệt thì \(x^2-2m-1=0(*)\) phải có hai nghiệm phân biệt khác $\pm 1$

Điều này xảy ra khi: \(\left\{\begin{matrix} 2m+1>0\\ 2m+1\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m> -\frac{1}{2}\\ m\neq 0\end{matrix}\right.\)

Khi đó $(*)$ có hai nghiệm \(\left[\begin{matrix} x=\sqrt{2m+1}\\ x=-\sqrt{2m+1}\end{matrix}\right.\)

PT có nghiệm 4 nghiệm khác $0$ là: \(1,-1, \sqrt{2m+1}, -\sqrt{2m+1}\)

Bài toán sẽ đẹp hơn nếu sắp xếp thứ tự của $x_1,x_2,x_3,x_4$. Nhưng vì không sắp xếp nên buộc ta phải xét TH.

Nếu $x_1,x_3$ là hai nghiệm đối nhau thì hoàn toàn vô lý vì \(2x_2\neq 0\)

Do đó: \(\left[\begin{matrix} x_1+x_3=1-\sqrt{2m+1}\\ x_1+x_3=1+\sqrt{2m+1}\\ x_1+x_3=-1+\sqrt{2m+1}\\ x_1+x_3=-1-\sqrt{2m-1}\end{matrix}\right.\)

\(\bullet x_1+x_3=1+\sqrt{2m+1}>0\) mà \(x_2\in\left\{-1; -\sqrt{2m+1}\right\}<0\) nên loại

\(\bullet x_1+x_3=-1-\sqrt{2m+1}<0\) mà \(x_2\in\left\{1; \sqrt{2m+1}\right\}>0\) nên loại

\(\bullet x_1+x_3=1-\sqrt{2m+1}\)

Nếu \(x_2=\sqrt{2m+1}\Rightarrow 1-\sqrt{2m+1}=2\sqrt{2m+1}\)

\(\Rightarrow m=\frac{-4}{9}\) (thỏa mãn)

Nếu \(x_2=-1\Rightarrow 1-\sqrt{2m+1}=-2\Rightarrow m=4\) (thỏa mãn)

\(\bullet x_1+x_3=\sqrt{2m+1}-1\)

Nếu \(x_2=-\sqrt{2m+1}\Rightarrow \sqrt{2m+1}-1=-2\sqrt{2m+1}\)

\(\Rightarrow m=\frac{-4}{9}\) (t/m)

Nếu \(x_2=1\Rightarrow \sqrt{2m+1}-1=2\Rightarrow m=4\)

Tóm lại \(m=\frac{-4}{9}; m=4\)

Lời giải:

Phản chứng. Giả sử chia được như yêu cầu đề bài.

Gọi 18 số tự nhiên liên tiếp đó là $a,a+1,....,a+17$

Nếu $a\equiv 0,2,3,4,...., 18\pmod {19}$ thì trong 18 số $a,a+1,...,a+17$ luôn tồn tại "duy nhất" một số chia hết cho $19$

Do đó khi chia tập 18 số tự nhiên thành 2 tập rời rạc sẽ có 1 tập chia hết cho $19$ và tập còn lại không chia hết cho $19$ nên tích 2 tập đó không thể bằng nhau (1)

Nếu $a\equiv 1\pmod {19}$

$\Rightarrow a(a+1)...(a+17)\equiv 1.2...18=18!\pmod {19}$

Vì tích các phần tử thuộc A bằng tích các phần tử thuộc B và $A,B$ rời rạc nên nên $a(a+1)...(a+17)$ là số chính phương.

Đặt $a(a+1)...(a+17)$ là $x^2$ thì $x^2\equiv 18!\pmod {19}$

Theo định lý Wilson: $18!\equiv -1\pmod {19}$

$\Rightarrow x^2\equiv -1\pmod {19}$

Đến đây xét modulo 19 cho $x$ ta thấy vô lý (2)

Từ (1);(2) ta thấy điều giả sử là sai.

Do đó ta có đpcm.

Lời giải:

Theo BĐT về tam giác: độ dài một cạnh tam giác thì nhỏ hơn tổng độ dài 2 cạnh còn lại:

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} AM< MP+AP\\ AM< MN+AN\end{matrix}\right.\Rightarrow 2AM< MP+MN+AP+AN\)

Dễ nhận thấy $MN,MP$ là các đường trung bình của tam giác $ABC$

\(\Rightarrow MN=\frac{1}{2}AB; MP=\frac{1}{2}AC\)

Lại có: \(AP=\frac{1}{2}AB; AN=\frac{1}{2}AC\)

Do đó: \(2AM< \frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AC=AB+AC\)

\(\Rightarrow AM< \frac{AB+AC}{2}\)

Hoàn toàn TT với \(BN, CP\) suy ra:

\(AM+BN+CP< \frac{AB+AC}{2}+\frac{BC+BA}{2}+\frac{CA+CB}{2}=AB+BC+AC\)

Ta có đpcm

Câu 3:

HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+4y^2=8\\ x=4-2y\end{matrix}\right.\Rightarrow (4-2y)^2+4y^2=8\)

\(\Leftrightarrow 8y^2-16y+8=0\Leftrightarrow y^2-2y+1=0\)

\(\Leftrightarrow (y-1)^2=0\Rightarrow y=1\)

Thay $y=1$ có $x=4-2y=2$

Vậy $(x,y)=(2,1)$

Câu 4:

ĐK: ....................

PT\((1)\Leftrightarrow 6y=\frac{x-2y}{y}-\sqrt{x-2y}\)

Đặt $\sqrt{x-2y}=a(a\geq 0$). Khi đó :

\(6y=\frac{a^2}{y}-a\)

\(\Rightarrow 6y^2=a^2-ay\)

\(\Leftrightarrow 6y^2+ay-a^2=0\)

\(\Leftrightarrow (3y-a)(2y+a)=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} 3y=a\\ -2y=a\end{matrix}\right.\)

Nếu \(a=3y=\sqrt{x-2y}\Rightarrow x=9y^2+2y\)

PT\((2)\Rightarrow \sqrt{9y^2+2y+3y}=9y^2+2y+3y-2\)

\(\Leftrightarrow 9y^2+5y-\sqrt{9y^2+5y}-2=0\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{9y^2+5y}-2)(\sqrt{9y^2+5y}+1)=0\)

\(\Rightarrow \sqrt{9y^2+5y}=2\) (TH còn lại dễ thấy vô lý)

\(\Rightarrow 9y^2+5y=4\Leftrightarrow 9y^2+5y-4=0\)

\(\Leftrightarrow (9y-4)(y+1)=0\Rightarrow y=\frac{4}{9}\) hoặc $y=-1$

Thử lại thấy $y=\frac{4}{9}$ thỏa mãn. Kéo theo $x=\frac{8}{3}$ là đáp án duy nhất thỏa mãn.

a) Vì vai trò của x, y, z như nhau nên ko mất tính tổng quát, giả sử \(x\le y\le z\)

\(\Rightarrow\) 3z \(\ge\) xyz

\(\Rightarrow\) 3 \(\ge\) xy

Vì xy nguyên dương nên xy = 1 hoặc xy = 2

+ Nếu xy = 1 thì x + y + z = z \(\Rightarrow\) x + y = 0, loại vì x, y nguyên dương

+ Nếu xy = 2 thì x + y + z = 2z \(\Rightarrow\) x + y = z. Do xy = 2 và x \(\le\) y nên x = 1, y = 2, do đó y = 3.

Vậy...

b, xyz = 9 + x + y + z
<=> 1 = 1/yz + 1/xz + 1/xy + 9/xyz
giả sử: x ≥ y ≥ z ≥ 1, ta có:
1 = 1/yz + 1/xz + 1/xy + 9/xyz ≤ 1/z^2 + 1/z^2 + 1/z^2 + 9/z^2 = 12/z^2
=> z^2 ≤ 12 => z = 1, 2 , 3
*z = 1:
1=1/y + 1/x + 1/xy ≤ 1/y + 1/y + 1/y = 3/y
=> y ≤ 3 => y = 1,2,3
y =1 => x= 11 + x (vô nghiệm)
y = 2 => 2x = 12 + x => x = 12 trường hợp nầy nghiệm (12,2,1)
y = 3 => 3x = 13 + x ( không có ngiệm x nguyên)

* z = 2
1 = 1/2y + 1/2x + 1/xy + 1/2xy = 1/2y + 1/2x + 3/2xy ≤ 1/2(1/y + 1/y + 3/y) = .5/2y
=> y ≤ 5/2 => y = 2
=> 4x = 13 + x (không có nghiệm x nguyên)

* z =3:
1 = 1/3y + 1/3x + 1/xy + 3/xy = 1/3y + 1/3x + 4/xy ≤ 1/3(1/y +1/y + 12/y) = 14/3y
=> y ≤ 14/3 => y = 3, 4
y = 3 => 9x = 15 + x (không có nghiệm x nguyên)
y = 4 => 12x = 16 + x (không có nghiệm x nguyên)

Vậy pt có nghiệm là (12,2,1) và các hoán vị của nó.

Hình tự vẽ

Dễ dàng cm:AC lớn nhất.

Trên AC lấy D sao cho \(\widehat{CBD}=\widehat{CAB}\)

\(\Rightarrow\Delta BCD\sim\Delta ACB\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow BC^2=AC.CD=AC\left(AC-AD\right)\)(1)

Lại có:\(\widehat{B}=\widehat{A}+2\widehat{C}\)

\(\Rightarrow\widehat{DBA}=90^0-\dfrac{\widehat{A}}{2}\)

\(\Rightarrow\Delta ABD\) cân tại A

\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow BC^2=AC\left(AC-AB\right)\)

Đặt ẩn giải tiếp

Xin slot nha

Lời giải:

ĐKXĐ:..............

Nếu $y=0$ thì từ PT (1) suy ra $x=1$ (do $x\geq \frac{1}{2}$)

Thay vào PT(2) thấy không thỏa mãn (loại)

Nếu $y< 0$:

\(\frac{y}{\sqrt[3]{x-y}}=\sqrt{x^2-x-y}\geq 0\Rightarrow \sqrt[3]{x-y}< 0\Rightarrow x< y< 0\) (vô lý)

Do đó $y>0$

PT(1) \(\Leftrightarrow \sqrt{x^2-x-y}.\sqrt[3]{x-y}=y\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{x^2-x-y}(\sqrt[3]{x-y}-1)+(\sqrt{x^2-x-y}-y)=0\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{x^2-x-y}.\frac{x-y-1}{\sqrt[3]{(x-y)^2}+\sqrt[3]{x-y}+1}+\frac{(x+y)(x-y-1)}{\sqrt{x^2-x-y}+y}=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y-1)\left[\frac{\sqrt{x^2-x-y}}{\sqrt[3]{(x-y)^2}+\sqrt[3]{x-y}+1}+\frac{x+y}{\sqrt{x^2-x-y}+y}\right]=0\)

Dễ thấy biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương với mọi $x\geq \frac{1}{2}; y>0$ nên $x-y-1=0$

$\Rightarrow x=y+1$

Thay vào PT(2):

\(2[(y+1)^2+y^2]-3\sqrt{2y+1}=11\)

\(\Leftrightarrow (2y+1)^2-3\sqrt{2y+1}=10\)

\(\Leftrightarrow t^4-3t=10(t=\sqrt{2y+1})\)

\(\Leftrightarrow (t-2)(t^3+2t^2+4t+5)=0\)

Với mọi $t\geq 0$ thì $t^3+2t^2+4t+5\neq 0$

Do đó $t-2=0\Rightarrow t=2\Rightarrow y=\frac{3}{2}$

$\Rightarrow x=y+1=\frac{5}{2}$

Vậy..........

@Vũ Minh Tuấn @Trần Thanh Phương @Lê Thị Thục Hiền,... mọi nguwoif giúp mk với

@Akai Haruma cô giúp em với ạ

@Nguyễn Việt Lâm thầy giúp em với ạ

Ta có: \(3^{1966}=2k+1\left(k\in N\right)\)

\(\Rightarrow2^{3^{1966}}=2^{2k+1}=2^{2k}.2=\left(2^2\right)^k.2=4^k.2\)

Mà \(4\equiv1\left(mod3\right)\) nên \(4^k\equiv1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow4^k.2\equiv2\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow2^{3^{1966}}\equiv2\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow1+2^{3^{1966}}⋮3\)

Mà \(1+2^{3^{1966}}>3\) nên \(1+2^{3^{1966}}\) ko phải là số nguyên tố

Bạn có thể viết chương trình để kiểm tra, như Pascal chẳng hạn :v