Xét hai tích phân \(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^2x\text{d}x\) và \(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\cos^2x\text{d}x\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^2x\text{d}x>\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\cos^2x\text{d}x\). \(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^2x\text{d}x< \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\cos^2x\text{d}x\). \(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^2x\text{d}x=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\cos^2x\text{d}x\). Không so sánh được hai tích phân trên. Hướng dẫn giải:Xét \(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^2x\text{d}x\) . nếu ta đổi biến số \(x=\frac{\pi}{2}-t\) => \(\text{d}x=-\text{d}t\)
Đổi cận: \(x|^{\frac{\pi}{2}}_0\Rightarrow t|^0_{\frac{\pi}{2}}\)
\(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^2x\text{d}x=-\int\limits^0_{\frac{\pi}{2}}\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-t\right)\text{d}t=-\int\limits^0_{\frac{\pi}{2}}\cos^2t\text{d}t=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\cos t\text{d}t=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\cos x\text{d}x\).