Với giá trị nào của tham số \(m\) thì đồ thị hàm số \(y=x^4-2mx^2+m-1\) có ba điểm cực trị là ba đỉnh một tam giác đều?
\(m=\sqrt[3]{3}\). \(m=-\sqrt[3]{3}\). \(m=\sqrt[3]{2}\). \(m=-\sqrt[3]{2}\). Hướng dẫn giải:\(y'=4x^3-4mx=4x\left(x^2-m\right)\)
Để $y$ có ba điểm cực trị thì điều kiện cần và đủ là \(y'\) phải có ba nghiệm phân biệt, tức là phải có \(m>0\) (1)
Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là
\(A\left(-\sqrt{m};y\left(-\sqrt{m}\right)=-m^2+m-1\right)\) , \(B\left(0;y\left(0\right)=m-1\right)\) ; \(C\left(\sqrt{m};y\left(\sqrt{m}\right)=-m^2+m-1\right)\)
Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(B\) nên để \(ABC\) là tam giác đều thì cần và đủ là \(AB=AC\Leftrightarrow AB^2=AC^2\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{m}\right)^2+\left(m-1+m^2-m+1\right)^2=\left(2\sqrt{m}\right)^2\)\(\Leftrightarrow m+m^4=4m\)\(\Leftrightarrow m^4-3m=0\)\(\Leftrightarrow m\left(m^3-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\text{}\text{}m=\sqrt[3]{3}\) (do điều kiện (1)).