Với giá trị nào của \(a\) thì phương trình \(3\left|x\right|+2ax=-1\) có nghiệm duy nhất ?
\(a>\frac{3}{2}\) \(a< -\frac{3}{2}\) \(a\ne\frac{3}{2}\) và \(a\ne-\frac{3}{2}\) \(a>\frac{3}{2}\) hoặc \(a< -\frac{3}{2}\) Hướng dẫn giải:Phương trình đã cho tương đương với \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\3x+2ax=-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\-3x+2ax=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\\left(2a+3\right)x=-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\\left(2a-3\right)x=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\).
- Nếu \(a=-\dfrac{3}{2}\) thì phương trình đã cho tương đương với \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\0x=-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\-6x=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) , vô nghiệm.
Tương tự, nếu \(a=\dfrac{3}{2}\) thì phương trình đã cho cũng vô nghiệm
- Nếu \(a\ne\pm\dfrac{3}{2}\) thì phương trình đã cho tương đương với \(\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{2a+3}\ge0\\x=-\dfrac{1}{2a-3}< 0\end{matrix}\right.\) , phương trình sẽ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
(I) \(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{1}{2a+3}\ge0\\-\dfrac{1}{2a-3}\ge0\end{matrix}\right.\) hoặc (II) \(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{1}{2a+3}< 0\\-\dfrac{1}{2a-3}< 0\end{matrix}\right.\)
Giải các điều kiện này ta được (I) \(\Leftrightarrow\)\(a< -\dfrac{3}{2}\) ; (II) \(\Leftrightarrow\) \(a>\dfrac{3}{2}\) .
Đáp số: \(a>\frac{3}{2}\) hoặc \(a< -\dfrac{3}{2}\) .