Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x - y + 1 = 0. Để phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{v}\) biến d thành chính nó thì \(\overrightarrow{v}\) phải là vectơ nào trong các vectơ sau đây?
\(\overrightarrow{v}=\left(2;1\right)\).\(\overrightarrow{v}=\left(2;-1\right)\).\(\overrightarrow{v}=\left(1;2\right)\).\(\overrightarrow{v}=\left(-1;2\right)\).Hướng dẫn giải:Gọi \(M\left(x_d,y_d\right)\) là điểm thuộc đường thẳng d, khi đó:
\(2x_d-y_d+1=0\)
Gọi M'(x, y) là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vec tơ \(\overrightarrow{v}\), ta có:
\(\begin{cases}x=x_d+x_{\overrightarrow{v}}\\y=y_d+y_{\overrightarrow{v}}\end{cases}\)
Suy ra
\(\begin{cases}x_d=x-x_{\overrightarrow{v}}\\y_d=y-y_{\overrightarrow{v}}\end{cases}\)
Thay \(\left(x_d;y_d\right)\) vào phương trình của đường thẳng d ta được:
\(2\left(x-x_{\overrightarrow{v}}\right)-\left(y-y_{\overrightarrow{v}}\right)+1=0\)
\(\Leftrightarrow2x-y+\left(-2x_{\overrightarrow{v}}+y_{\overrightarrow{v}}+1\right)=0\)
Đây chính là phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến \(T_{\overrightarrow{v}}\). Để d' trùng với d thì:
\(-2x_{\overrightarrow{v}}+y_{\overrightarrow{v}}+1=1\)
\(\Leftrightarrow-2x_{\overrightarrow{v}}+y_{\overrightarrow{v}}=0\)
Trong số các vec tơ trong đáp án, chỉ có vec tơ \(\overrightarrow{v}=\left(1;2\right)\) thỏa mãn (Đây cũng chính là vec tơ chỉ phương của đường thẳng d).
