Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;1;4). Điểm H thuộc đường thẳng \(\left(\Delta\right):\begin{cases}x=1+t\\y=2+t\left(t\in R\right)\\z=1+2t\end{cases}\) sao cho đoạn MH ngắn nhất có tọa độ là :
(2;3;2) (3;2;3) (3;3;2) (2;3;3) Hướng dẫn giải:Gọi H trên \(\left(\Delta\right)\), vậy H có tọa độ là H(1 + t ; 2 + t ; 1 + 2t). (*)
MH ngắn nhất khi H là hình chiếu của M trên \(\left(\Delta\right)\), hay là \(MH\perp\left(\Delta\right)\). Vec tơ chỉ phương của \(\left(\Delta\right)\) là \(\overrightarrow{\Delta}\) = (1 ; 1 ; 2).
Vậy ta phải có: \(\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{\Delta}=0\)
\(\Rightarrow\left(1+t-2;2+t-1;1+2t-4\right).\left(1;1;2\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(1+t-2\right).1+\left(2+t-1\right).1+\left(1+2t-4\right).2=0\)
\(\Rightarrow t-1+t+1+4t-6=0\)
\(\Rightarrow t=1\)
Thay t vào (*) ta có tọa độ H là (1+1; 2+1; 1+2.1) = (2; 3; 3)