Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề phủ định đúng?
\(\exists x\in Z,x^2=9\)\(\exists n\in N,\left(n^2+1\right)⋮4\)\(\forall n\in N,\left(n^2+1\right)⋮̸3\)\(\exists\in Z,\left(x-1\right)^2=x-1\)Hướng dẫn giải:Phủ định của \(P=\)" \(\exists x\in Z,x^2=9\) " là \(\overline{P}=\) " \(\forall x\in Z,x^2\ne9\) ". Mệnh đề \(\overline{P}\) sai vì có \(x=3\) làm cho \(P\) đúng.
Phủ định của \(Q=\)" \(\forall n\in N,\left(n^2+1\right)⋮̸3\) " là \(\overline{Q}=\) " \(\exists n\in N,\left(n^2+1\right)⋮3\) ". Mệnh đề \(\overline{Q}\) sai vì Q đúng ( nếu n là bội của 3 thì \(n^2⋮3\) suy ra \(\left(n^2+1\right)⋮̸3\) , còn nếu n không là bội số của 3 thì \(n^2\) chia 3 dư 1, suy ra \(\left(n^2+1\right)\) chia 3 dư 2.
Phủ định của \(R=\) " \(\exists x\in Z,\left(x-1\right)^2=x-1\) " là \(\overline{R}=\) " \(\forall x\in Z,\left(x-1\right)^2\ne x-1\) " . Mệnh đề \(\overline{R}\) sai vì R là mệnh đề đúng ( có \(x=2\in Z\) mà \(\left(x-1\right)^2=x-1\) )
Phủ định của mệnh đề \(T=\)" \(\exists n\in N,\left(n^2+1\right)⋮4\) " là \(\overline{T}=\) " \(\forall n\in N,\left(n^2+1\right)⋮̸4\) " Mệnh đề \(\overline{T}\) đúng vì \(\left(n^2+1\right)\) chia 4 dư 1 khi n chẵn; dư 2 khi n là số lẻ.
Đáp số: \(\exists n\in N,\left(n^2+1\right)⋮4\)