Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(\int\limits\dfrac{\sqrt{x^4+x^{-4}+2}}{x^3}\text{d}x=\ln\left|x\right|-\dfrac{1}{4x^4}+C\). \(\int\limits\dfrac{x^2\text{d}x}{1-x^2}=\dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|-x+C\). \(\int\limits\tan^2x\text{d}x=\tan x-x+C\). \(\int\limits\dfrac{2^{x+1}-5^{x-1}}{10^x}\text{d}x=\dfrac{1}{5.2^x.\ln2}+\dfrac{2}{5^x.\ln5}+C\). Hướng dẫn giải:Cách 1 (dùng MTCT): Vì trong các khẳng định đã cho có hàm lượng giác nên trước hết ta cần để MTCT ở chế độ sử dụng đơn vị rađian. Trong các khẳng định đó chỉ có một khẳng định không xác định khi \(x=1\) (ba khẳng định còn lại đều xác định tại \(x=1\) ). Vì thế ta tính
\(\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\ln\left|x\right|-\dfrac{1}{4x^4}\right)|_{x=1}-\dfrac{\sqrt{1^4+1^{-4}+2}}{1^3}\) ta thấy kết quả bằng \(0\), tương tự
\(\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\tan x-x\right)|_{x=1}-\tan^21=0\) nhưng \(\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\dfrac{1}{5.2^x\ln2}+\dfrac{2}{5^x.\ln5}\right)|_{x=1}-\dfrac{2^{1+1}-5^{1-1}}{10^1}=-0,8\), suy ra khẳng định \(\int\limits\dfrac{2^{x+1}-5^{x-1}}{10^x}\text{d}x=\dfrac{1}{5.2^x.\ln2}+\dfrac{2}{5^x.\ln5}+C\) là sai.
Cách 2: Sử dụng các phép biến đổi thích hợp để tính các nguyên hàm đã nêu
\(\int\limits\dfrac{\sqrt{x^4+x^{-4}+2}}{x^3}\text{d}x=\int\dfrac{\sqrt{\left(x^2+x^{-2}\right)^2}}{x^3}\text{d}x=\int\dfrac{x^2+x^{-2}}{x^3}\text{d}x=\int\dfrac{1}{x}\text{d}x+\int x^{-5}\text{d}x=\ln\left|x\right|-\dfrac{1}{4x^4}+C\)
x\(\int\limits\dfrac{x^2\text{d}x}{1-x^2}=\int\dfrac{x^2-1+1}{1-x^2}\text{d}x=-\int\text{d}x+\dfrac{1}{2}\int\left(\dfrac{1}{1-x}+\dfrac{1}{1+x}\right)\text{d}x=-x+\dfrac{1}{2}\ln\left|1+x\right|-\dfrac{1}{2}\ln\left|x-1\right|+C\)\(=\dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|-x+C\)
\(\int\tan^2x\text{dx}=\int\left(\dfrac{1}{\cos^2x}-1\right)\text{d}x=\tan x-x+C\)
Vì vậy khẳng định sai chỉ có thể là \(\int\limits\dfrac{2^{x+1}-5^{x-1}}{10^x}\text{d}x=\dfrac{1}{5.2^x.\ln2}+\dfrac{2}{5^x.\ln5}+C\).