Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\frac{x^3}{3};y=x^2\) ?
\(\frac{46\pi}{35}\) \(\frac{486\pi}{35}\) \(\frac{86\pi}{35}\) \(\frac{4\pi}{3}\) Hướng dẫn giải:Hai đường \(y=\frac{x^3}{3};y=x^2\) cắt nhau tại các điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình:
\(\frac{x^3}{3}=x^2\Leftrightarrow x^2\left(x-3\right)=0\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}x=0\\x=3\end{matrix}\right.\)
Vậy, thể tích khối tròn xoay tạo thành là:
\(V=\left|\pi\int\limits^3_0\left[\left(\frac{x^3}{3}\right)^2-\left(x^2\right)^2\right]\text{dx}\right|\)
\(=\left|\pi\int\limits^3_0\left(\frac{x^6}{9}-x^4\right)\text{dx}\right|\)
\(=\pi.\left[\frac{x^7}{63}-\frac{x^5}{5}\right]|^3_0=\frac{486\pi}{35}\)