Tính \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{2x+7}+x-4}{x^3-4x^2+3}\) .
\(\frac{4}{15}\) \(\frac{2}{5}\) \(-\frac{4}{15}\) \(-\frac{2}{5}\) Hướng dẫn giải:Cách 1: Có \(\sqrt{2x+7}+x-4=\left(\sqrt{2x+7}-3\right)+\left(x-1\right)=\frac{\left(2x+7\right)-9}{\sqrt{2x+7}+3}+\left(x-1\right)=\left(x-1\right)\left(\frac{2}{\sqrt{2x+7}+3}+1\right)\) và
\(x^3-4x^2+3=\left(x-1\right)\left(x^2-3x-3\right)\) nên \(\frac{\sqrt{2x+7}+x-4}{x^3-4x^2+3}=\left(\frac{2}{\sqrt{2x+7}+3}+1\right):\left(x^2-3x-3\right)\), suy ra giới hạn cần tính bằng \(-\frac{4}{15}\).
Cách 2 (Mẹo - dùng MTCT): Giới hạn cần tính có dạng \(\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\)trong đó \(f\left(x\right),g\left(x\right)\) là hai hàm số có đạo hàm tại \(x=a\) và thỏa mãn điều kiện \(f\left(a\right)=g\left(a\right)=0;g'\left(a\right)\ne0\) nên \(\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{f'\left(a\right)}{g'\left(a\right)}.\) Dùng MTCT tính được \(f'\left(a\right)=1,333333333=\frac{4}{3}\) và \(g'\left(a\right)=-5.\) Suy ra đáp số đúng là \(-\frac{4}{15}.\)
|
|