Tính \(\int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\cos x}{\sin x+\cos x}\text{d}x\).
\(\dfrac{\pi}{8}-\ln\sqrt{2}\). \(\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{1}{2}\ln\sqrt{2}\). \(\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{1}{2}\ln\sqrt{2}\). \(\dfrac{\pi}{8}+\ln\sqrt{2}\). Hướng dẫn giải:Cách 1 (dùng MTCT): Để máy tính ở chế độ sử dụng đơn vị đo góc là radian, bấm máy tính tính \(\int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\cos x}{\sin x+\cos x}\text{d}x\) và lưu kết quả vào biến M. Tính hiệu \(\text{M}-\left(\dfrac{\pi}{8}-\ln\sqrt{2}\right)\) thấy kết quả khác \(0\), nên \(\dfrac{\pi}{8}-\ln\sqrt{2}\) không phải là đáp số đúng. Dịch chuyển con trỏ, sửa lại biểu thức cũ thành \(\text{M}-\left(\dfrac{\pi}{8}+\ln\sqrt{2}\right)\), kết quả vẫn khác \(0.\) Tương tự thử các đáp số còn lại và thấy đáp số đúng là \(\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{1}{2}\ln\sqrt{2}\).
Cách 2 (biến đổi) : Ta có \(\dfrac{2\cos x}{\sin x+\cos x}=\dfrac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}+1\Rightarrow\dfrac{\cos x}{\sin x+\cos x}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}\) nên \(\int\dfrac{\cos x\text{d}x}{\sin x+\cos x}=\dfrac{1}{2}\int\text{d}x+\dfrac{1}{2}\int\dfrac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}\text{d}x\)\(=\dfrac{x}{2}+\int\dfrac{\text{d}\left(\sin x+\cos x\right)}{\sin x+\cos x}=\dfrac{x}{2}+\ln\left|\sin x+\cos x\right|+C.\)
Do đó \(\int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\cos x}{\sin x+\cos x}\text{d}x=\dfrac{x}{2}|^{\frac{\pi}{4}}_0+\dfrac{1}{2}.\ln\left|\sin x+\cos x\right||^{\frac{\pi}{4}}_0=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{1}{2}\ln\sqrt{2}.\)