Tính \(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\left(\sin x+\dfrac{\cos2x}{\sqrt{1+3\cos x}}\right)\text{d}x.\)
\(\dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{118}{405}\) \(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{118}{405}\) \(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{118}{405}\) \(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{118}{405}\) Hướng dẫn giải:Cách 1 (dùng MTCT): Để máy tính ở chế độ dùng đơn vị radian. Bấm máy tính tính \(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\left(\sin x+\dfrac{\cos2x}{\sqrt{1+3\cos x}}\right)\text{d}x.\) Lưu kết quả vào biến M. Nhập biểu thức \(\text{M}-\left(\dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{118}{405}\right)\), kết quả khác \(0\) suy ra đáp số \(\dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{118}{405}\). Tương tự kiểm tra các đáp số còn lại, khi nào máy báo kết quả là \(0\) thì đáp số tương ứng là đúng. Đáp số đúng là \(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{118}{405}\).
Cách 2 (đổi biến số): Ta có \(\int^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^2x\text{d}x=\int^{\frac{\pi}{2}}_0\dfrac{1-\cos2x}{2}\text{d}x=\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{4}\sin2x\right)|^{\frac{\pi}{2}}_0=\dfrac{\pi}{4}.\) Do đó chỉ còn phải tính \(\int^{\frac{\pi}{2}}_0\dfrac{\sin x\cos2x\text{.d}x}{\sqrt{1+3\cos x}}\) Đặt \(t=\sqrt{1+3\cos x}\) thì \(\cos x=\dfrac{t^2-1}{3}\). Lấy vi phân hai vế ta được \(-\sin x.\text{d}x=\dfrac{2}{3}t.\text{d}t\), ngoài ra \(\cos2x=2\cos^2x-1=2\left(\dfrac{t^2-1}{3}\right)^2-1=\dfrac{1}{9}\left(2t^4-4t^2-7\right)\) nên biểu thức dưới dấu tích phân đổi về biến \(t\) là \(\dfrac{1}{9}\left(2t^4-4t^2-7\right).\dfrac{-2\text{d}t}{3}=\dfrac{2}{27}\left(-2t^4+4t^2+7\right)\text{d}t\). Đổi cận: \(x=0\Rightarrow t=2,x=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow t=1.\) Do đó
\(\int^{\dfrac{\pi}{2}}_0\dfrac{\sin x\cos2x\text{.d}x}{\sqrt{1+3\cos x}}=\dfrac{2}{27}\int^1_2\left(-2t^4+4t^2+7\right)\text{d}t=\dfrac{2}{27}\left(-\dfrac{2}{5}t^5+\dfrac{4}{3}t^3+7t\right)|^1_2=-\dfrac{118}{405}\)
Vì vậy đáp số đúng là \(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{118}{405}\)