Tính giá trị của \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{1+\sin x-\cos x}{1+\sin px-\cos px}\) .
\(p\) \(\frac{1}{p}\) \(p^2\) \(\frac{1}{p^2}\) Hướng dẫn giải:Cách 1 (biến đôi hàm):
Có \(1+\sin x-\cos x=\left(1-\cos x\right)+\sin x=2\sin^2\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=2\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)\).
Tương tự, \(1+\sin px-\cos px=2\sin\frac{px}{2}\left(\sin\frac{px}{2}+\cos\frac{px}{2}\right)\). Hàm số cần tính giới hạn được viết lại thành
\(f\left(x\right)=\frac{\sin\frac{x}{2}}{\sin\frac{px}{2}}.\frac{\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{px}{2}+\cos\frac{px}{2}}\).
Ta thấy \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sin\frac{x}{2}}{\sin\frac{px}{2}}=\frac{1}{p};\)\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(\sin\frac{px}{2}+\cos\frac{px}{2}\right)=1\). Suy ra giới hạn cần tính bẳng \(\frac{1}{p}.\)
Cách 2 (Mẹo - dùng MTCT): Xét bài toán với \(p=2.\) Các đáp số tương ứng là \(p=2;\frac{1}{p}=\frac{1}{2};p^2=4;\frac{1}{p^2}=\frac{1}{4}.\) Giới hạn cần tính là \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{1+\sin x-\cos x}{1+\sin2x-\cos2x}\) có dạng \(\frac{0}{0}\) và bằng \(\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\sin x-\cos x\right)|_{x=0}:\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\sin2x-\cos2x\right)|_{x=0}.\) Bấm máy tính ta được kết quả là \(\frac{1}{2}.\) Do đó các đáp số khác với \(\frac{1}{p}\) đều sai. Đáp số đúng là \(\frac{1}{p}.\) Dùng MTCT Casio fx570 ta thao tác cụ thể như sau: