Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y=-x^3+(m+3)x^2-(m^2+2m)x-2\) có hai điểm cực trị tại \(x_1,x_2\) sao cho \(x_1x_2-6(x_1+x_2)+4=0\)?
\(m=-2\). \(m=-2,m=12\). \(m=12\). Không có giá trị nào. Hướng dẫn giải:Hàm số đã cho có \(y'=-3x^2+2\left(m+3\right)x-\left(m^2+2m\right)\) là một tam thức bậc hai với \(\Delta'=\left(m+3\right)^2-3\left(m^2+2m\right)=-2m^2+9\).
Để hàm số có hai điểm cực trị \(x_1,x_2\), điều kiện cần và đủ là \(y'\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) là
\(\Delta'>0\Leftrightarrow-2m^2+9>0\) (1)
Theo định lý Vi-et ta có:
\(\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{2\left(m+3\right)}{3}\\x_1x_2=\dfrac{m^2+2m}{3}\end{cases}\)
nên điều kiện \(x_1x_2-6\left(x_1+x_2\right)+4=0\) \(\Leftrightarrow\dfrac{m^2+2m}{3}-6.\dfrac{2\left(m+3\right)}{3}+4=0\)\(\Leftrightarrow m^2-10m-24=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m=-2\\m=12\end{array}\right.\)
Đối với điều kiện (1) ta thấy chỉ có \(m=-2\) thỏa mãn.