Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(\text{ }y=x^3-3\left(m+1\right)x^2+9x-m\) có hai điểm cực trị \(x_1,x_2\) thỏa mãn điều kiện\(\left|x_1-x_2\right|=4\)?
\(m=-1\pm\sqrt{7}\). \(m=-1\pm\sqrt{6}\). \(m=-1\pm\sqrt{5}\). \(m=-1\pm\sqrt{4}\). Hướng dẫn giải:Hàm số đã cho có \(y'=3x^2-6\left(m+1\right)x+9=3\left[x^2-2\left(m+1\right)x+3\right]\) là một tam thức bậc hai với \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-3\)
Điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị \(x_1,x_2\) là \(y'\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) khi và chỉ khi
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-3>0\) (1)
Theo định lý Vi-et ta có
\(\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=3\end{cases}\).
Do đó điều kiện \(\left|x_1-x_2\right|=4\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=16\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=16\)
\(\Leftrightarrow\text{}\)\(\left[2\left(m+1\right)\right]^2-4.3=16\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left[\begin{array}{nghiempt}m=\sqrt{7}-1\\m=-\sqrt{7}-1\end{array}\right.\)
Cả hai giá trị này của đều thỏa mãn (1).