Tìm các giá trị của tham số m để phương trình : \(\frac{3mx+1}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+1}=\frac{2x+5m+3}{\sqrt{x+1}}\) có nghiệm.
\(0< m< \frac{1}{3}\).\(m< -\dfrac{1}{4}\) hay \(m>\frac{1}{3}\).\(-\frac{1}{3}< m< 0\).\(m< \frac{1}{3}\) hay \(m>0\).Hướng dẫn giải:Với điều kiện \(x>-1\), phương trình tương đương với \(3mx+1+x+1=2x+5m+3\) hay \(\left(3m-1\right)x=5m+1\) (*).
Nếu \(m=\dfrac{1}{3}\) thì (*) trở thành \(0x=\dfrac{5}{3}+1\), phương trình vô nghiệm.
Nếu \(m\ne\dfrac{1}{3}\) thì (*) có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{5m+1}{3m-1}\). Điều kiện \(x>-1\) trở thành \(\dfrac{5m+1}{3m-1}>-1\Leftrightarrow\dfrac{8m+2}{3m-1}>0\)
\(\Leftrightarrow m< -\dfrac{1}{4};m>\dfrac{1}{3}\)
Đáp số: \(m< -\dfrac{1}{4};m>\dfrac{1}{3}\)