Tích phân \(\int\limits^{\ln2}_0\dfrac{e^{3x}+1}{e^x+1}\text{d}x\) bằng
\(\dfrac{1}{2}+\ln2\). \(\dfrac{1}{2}-3\ln2\). \(\dfrac{1}{2}+2\ln2\). \(-\dfrac{1}{2}-\ln2\). Hướng dẫn giải:Cách 1 (dùng MTCT): Tính tích phân cần tính, nhập kết quả vào M. Tính giá trị biểu thức \(\dfrac{1}{2}+\ln2-\text{M}\), máy hiện kết quả bằng \(0.\) Suy ra \(\dfrac{1}{2}+\ln2\) là đáp số đúng (nếu máy hiện kết quả khác \(0\) thì kiểm tra tương tự cho đến khi được đáp số đúng)>
Cách 2 (biến đổi vi phân):
\(\int\limits^{\ln2}_0\dfrac{e^{3x}+1}{e^x+1}\text{d}x\)
\(=\int\limits^{\ln2}_0\dfrac{\left(e^x\right)^3+1}{e^x+1}\text{d}x\)
\(=\int\limits^{\ln2}_0\dfrac{\left(e^x+1\right)\left(x^{2x}-e^x+1\right)}{e^x+1}\text{d}x\)
\(=\int\limits^{\ln2}_0\left(e^{2x}-e^x+1\right)\text{d}x\)
\(=\dfrac{1}{2}\int\limits^{\ln2}_0e^{2x}\text{d}\left(2x\right)-\int\limits^{\ln2}_0e^x\text{d}x+\int\limits^{\ln2}_0\text{d}x\)
\(=\left(\dfrac{1}{2}e^{2x}-e^x+x\right)|^{\ln2}_0\)
\(=\dfrac{1}{2}e^{2\ln2}-e^{\ln2}+\ln2-\dfrac{1}{2}+1-0\)
\(=\dfrac{1}{2}e^{\ln2^2}-2+\ln2-\dfrac{1}{2}+1\)
\(=\dfrac{1}{2}.2^2-2+\ln2-\dfrac{1}{2}+1\)
\(=\dfrac{1}{2}+\ln2\).