Tích phân \(\int\limits^{\frac{1}{2}}_0\frac{x^3-1}{x^2-1}\text{d}x\) bằng
\(\frac{1}{4}+\ln\frac{3}{2}\). \(\ln\frac{3}{2}\). \(\frac{1}{8}\). \(\frac{1}{8}+\ln\frac{3}{2}\). Hướng dẫn giải:Cách 1 (sử dụng MTCT): Tính tích phân cần tính, kết quả khác \(\dfrac{1}{8};\) ta lưu kết quả vào M. Nhập biểu thức \(\dfrac{1}{4}+\ln\dfrac{3}{2}-\text{M}\), bấm máy được kết quả khác \(0,\) đáp số \(\dfrac{1}{4}+\ln\dfrac{3}{2}\) không đúng. Tương tự, kiểm tra các đáp số còn lại ( khi nào máy hiện kết quả là \(0\) thì đáp số tương ứng đúng)
Cách 2 (khai triển và biến đổi vi phân):
\(I=\int\limits^{\frac{1}{2}}_0\dfrac{x^3-1}{x^2-1}\text{d}x\)
\(=\int\limits^{\frac{1}{2}}_0\dfrac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\text{d}x\)
\(=\int\limits^{\frac{1}{2}}_0\dfrac{x^2+x+1}{x+1}\text{d}x\)
\(=\int\limits^{\frac{1}{2}}_0\dfrac{x\left(x+1\right)+1}{x+1}\text{d}x\)
\(=\int\limits^{\frac{1}{2}}_0\left(x+\dfrac{1}{x+1}\right)\text{d}x\)
\(=\int\limits^{\frac{1}{2}}_0x\text{d}x+\int\limits^{\frac{1}{2}}_0\dfrac{1}{x+1}\text{d}\left(x+1\right)\)
\(=\left[\dfrac{1}{2}x^2+\ln\left(x+1\right)\right]|^{\frac{1}{2}}_0\)
\(=\dfrac{1}{8}+\ln\dfrac{3}{2}\).