Tích phân \(\int\limits^e_1x.\ln x\text{d}x\) bằng
\(\frac{1}{2}\). \(\frac{e^2-2}{2}\). \(\frac{e^2+1}{4}\). \(\frac{e^2-1}{4}\). Hướng dẫn giải: Cách 1 (dùng MTCT): Bấm máy tính \(\int\limits^e_1x.\ln x\text{d}x\) thấy kết quả khác \(\dfrac{1}{2}.\) Lưu kết quả vào biến nhớ \(A\) rồi tính lần lượt các giá trị \(A-\dfrac{e^2-2}{2};A-\dfrac{e^2+1}{4};A-\dfrac{e^2-1}{4}\) ta thấy chỉ có \(A-\dfrac{e^2+1}{4}\) có giá trị bằng \(0.\) Do đó \(I=\dfrac{e^2+1}{4}\) là đúng.Cách 2 (tích phân từng phần): Đặt \(\begin{cases}u=\ln x\\v'=x\end{cases}\) thì \(\begin{cases}u'=\dfrac{1}{x}\\v=\dfrac{1}{2}x^2\end{cases}\)
Theo công thức tích phân từng phần ta có:
\(\int\limits^e_1x.\ln x\text{d}x=\ln x.\frac{1}{2}x^2|^e_0-\int\limits^e_1\frac{1}{x}\frac{1}{2}x^2\text{d}x\)
\(=\dfrac{1}{2}x^2\ln x|^e_1-\dfrac{1}{2}\int\limits^e_1xdx=\dfrac{1}{2}x^2\ln x|^e_1-\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}x^2|^e_1\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(e^2\right)-\dfrac{1}{4}\left(e^2-1\right)=\dfrac{e^2+1}{4}\).